[argentinator]

Expuesto todo esto, queda por ver (y en esta cuestión no me meto ya que carezco de los conocimientos) cómo formalizar la lógica sin teoría de conjuntos. En todos mis estudios siempre he usado conjuntos para formalizar la lógica. Sin embargo, por lo que veo aquí y en otros sitios, se formaliza la lógica sin presuponer los conjuntos. Supongo que se puede hacer, pero personalmente me surgen muchas dudas sobre las propiedades de los "universos", "colecciones" y demás nombres que se usan en vez de "conjunto": ¿Podemos hablar del universo de todos los universos? ¿Se pueden definir por comprensión sin restricciones? ¿Existe la colección de colecciones que no son miembros de ellas mismas? Etc.

Bueno, te cuento que yo siempre he tenido dudas del mismo estilo, aunque no por los mismos motivos.

En realidad, he visto por ahí textos que "fundamentan" la lógica matemática, haciendo una construcción que habla de "conjuntos" y de "números naturales".

Siempre me ha parecido inaceptable que se haga un fundamento así, por la sencilla razón de que los conjuntos y los naturales se definen "después" y "dentro" de la lógica de primer orden que se está "construyendo".

Ahora bien, Ivorra durante varios años ha tenido que padecer mis quejas respecto a esto.

Lo que Carlos me dice es que en realidad hay "cosas" que ya existen antes de "fundamentar" la lógica.
Entre esas "cosas" se contaría con algunas "intuiciones fiables".
Fijate que puse la palabra "fiables" con todos los resaltados que encontré: negrita, cursiva, subrayado, tamaño de fuente 12, y tipo de fuente cambiada a Arial.

Si bien yo tengo aún algunas dudas sobre la "fiabilidad" o no de ciertas intuiciones, por lo menos me es posible al menos entender el origen de esas "cosas previamente aceptadas", sin construcción, sin definición, ni nada, sino que, supuestamente, podemos contar con ellas desde el lenguaje mismo, o la mera capacidad de la inteligencia humana.

Desde ese punto de vista, es posible aceptar algunos "conjuntos sencillos" junto con (y esto me cuesta más de aceptar) afirmaciones acerca de esos conjuntos.
Lo mismo con los números naturales vistos ahora como "objetos intuitivos (fiables)", con algunas afirmaciones también supuestamente fiables acerca de ellos.

Creo haber leído en posts o libros de Carlos que también asume intuiciones geométricas.

_______________

En este sentido, la palabra "conjunto" trae confusiones con respecto a la noción "formalizada" de conjunto, ya que la teoría formal de conjuntos se refiere a los objetos de la teoría ZFC, por ejemplo.

Lo mismo pasa con los "números naturales". Si hablamos de los "intuitivos" no es lo mismo que el "sistema de números naturales" que puede edificarse "dentro" de la teoría de conjuntos, o de cualquier otra teoría matemática, con la lógica que más te guste.

ídem con la geometría euclidiana.

Las versiones intuitivas de estas "cosas" tendrían que tener otro nombre, para evitar la confusión que proviene del "contexto".
Si no, el contexto debe quedar claramente explicitado.
A mí me gusta que al menos se agregue el adjetivo "intuitivo" cuando se habla de:

Lógica (a la que Carlos se refiere como "razonamiento" antes de desarrollar la teoría formal de lógica de 1er orden),
Conjuntos (que Carlos ha distinguido llamándolos "colecciones"),
Naturales (que siempre deberían referirse como "naturales intuitivos"),
Geometría (que también debiera llamarse "geometría intuitiva", pero en particular a mí me produce bastante rechazo tomar con seriedad matemática una tal teoría intuitiva).

Aún así, queda la duda de qué tipo son esas "colecciones", o qué tipos puedan ser.

Hay una sutileza en la manera de expresarse de Carlos, con la que yo estoy de acuerdo, y que pienso que debe aplicarse a los contextos en que se asocia un "significado" a una teoría formal.
Me refiero a cuando dice cosas como esta: "un objeto es de tal colección si hay una manera precisa de decir que pertenece a esa colección".

Aunque no entiendo matemáticamente el sentido de la palabra "preciso",
me parece más aceptable porque me permite pensar en maneras prácticas de llevar a cabo una verificación.

Por ejemplo, puedo pensar en algún algoritmo que defina una regla que permita determinar si cierto objeto pertenece o no a una colección dada.

__________

Pero más allá de esto, lo que me parece que está sobrando es la palabra "colección".
Esa palabra se entiende enseguida como un sinónimo de "conjunto", o sea, una "bolsa" que contiene en su interior ciertos objetos.

No creo que haga falta pensar en "colecciones".
Es menos restrictivo pensar en "etiquetas".
El modelo M parece darse como una "colección" de objetos que "pertenecen" a M.

Pero en vez de esa "pertenencia" de tipo conjuntista, podría pensarse en "M" como una etiqueta, o una propiedad, o un adjetivo, y decir algo como: "un objeto x es de tipo M si cumple tal y tal cosa...".

¿De dónde saqué esta idea, y qué diablos significa?

Esto sale de la experiencia con conjuntos en el seno de las teorías formales.
Pongamos el ejemplo del "conjunto de los números naturales".

Los naturales pueden definirse en cualquier teoría de conjuntos de varias maneras, pero una manera simple (aunque no utilizada) es ésta:

\( 0=\emptyset, 1 = \{\emptyset\}, 2 = \{\{\emptyset\}\}, etc. \)

Observamos que, si bien "todos" los naturales pueden definirse, no quiere decir que necesariamente "existe un conjunto" que los contiene a todos ellos como elementos.

Para que esto ocurra se requiere de la adición de un "Axioma del Infinito".

__________

Lo que yo hago es trasladar esta situación al mundillo metamatemático, y pensar que puede distinguirse entre "el concepto de número natural", y "el conjunto o colección de números naturales".

Una propiedad puede darse, aunque no exista el conjunto de los objetos que cumplen esa propiedad.

En la teoría ZFC ocurre lo mismo con el "conjunto de todos los conjuntos".
Eso no existe. Sin embargo, puede definirse la "propiedad" (o fórmula) "x = x" (que la cumplen "todos los conjuntos") aunque no sea posible definir el conjunto U = {x: x = x}.

Tras estos casos uno puede entender que no es lo mismo decir que "un objeto x cumple una propiedad P", que hablar de la "colección de aquellos objetos x que cumplen P".

____________

En mi opinión, en la etapa de fundamentación de la matemática (como lo es esto de estar definiendo la lógica de 1er orden), no debe usarse la palabra "colección", ni siquiera en forma intuitiva, porque esconde una posible restricción.

Si la discusión se sigue en profundidad, es posible que sea cada vez más difícil despegar las ideas de "satisfacer un criterio o una propiedad P" que "pertenecer a una colección M".

De hecho, a nivel metamatemático es posible que lo correcto sea interpretar ambas cosas como "lo mismo".

[argentinator]

En el mismo sentido, cuando damos el axioma de ZFC que nos permite decir que "la imagen de una función es un conjunto",
está claro que esa "imagen" aún no está dada como "colección", sino que solamente sabemos de ella "cuál es la fórmula  \( \alpha(x) \)" que la define.

Mientras ese axioma no se ha dado, queda en suspenso el poder decir que "todos aquellos \( x \) que cumplen \( \alpha(x) \)" es o no es un conjunto.
A pesar de eso, la función puede definirse de todos modos sin problemas.
Es decir, puedo definir una función que a cada x asigne un elemento f(x), para todos los x de un conjunto Z, aún cuando yo no sepa si es posible o no hablar del conjunto W de todas las imágenes f(x), de x en Z. (O sea, si puedo definir o no un conjunto imagen W = f(Z)).

Si bien esto ocurre en el "costado formal" de la teoría de conjuntos,
imagino que representa un obstáculo intelectual o mental que impide,
en general, considerar alegremente a "cualquier cosa" como una "colección" o un "conjunto", y que es menos problemático el dar un "criterio" o "propiedad" que indique (sin ambigüedad, con precisión, lo que fuera que esto signifique) si un cierto objeto x cumple o no cumple ese criterio.

La verificación se hace de modo individual,
y las aplicaciones de tipo "función" se hacen también en forma individual.
No es lo mismo que tomar "toda la colección".
(Estoy pensando en que, en cierto modo, el asignar a los términos del lenguaje de 1er orden un objeto del universo U del modelo M, mediante una valoración es una operación mental del tipo "funcional", en que a cada constante del lenguaje formal por ejemplo, lo "aplico" en un objeto del universo U).

Los intuicionistas tenían también problemas para concebir al conjunto de "todos los naturales" en vez de ir "considerándolos de uno en uno", y esto último les parecía aceptable, mientras que era dudoso o inaceptable hablar de los números naturales como "un todo".

Distinguían el infinito potencial del infinito real.

A Carlos los intuicionistas no le gustan.
A mí me da todo lo mismo, puesto que creer, no le creo a nadie.
Pero sí voy viendo ejemplos que me parecen sugestivos, de que coleccionar es más "arriegado" que "etiquetar".

[Carlos Ivorra]

Ya hemos discutido mucho sobre estas cosas y me sabe mal meter baza (no porque me canse, ni nada parecido, sino, al contrario, por miedo a cansar). Pero me parece oportuno comentar algunas cosas a lo que dice argentinator porque veo (y me complace ver ) que ya va captando con bastante precisión mi punto de vista (aunque se resista a compartirlo), así que tal vez merezca la pena comentar los pequeños matices en los que inadvertidamente no acaba de decir lo que yo diría.

Ahora bien, Ivorra durante varios años ha tenido que padecer mis quejas respecto a esto.

Padecimiento, ninguno.

Lo que Carlos me dice es que en realidad hay "cosas" que ya existen antes de "fundamentar" la lógica.
Entre esas "cosas" se contaría con algunas "intuiciones fiables".

Es un matiz, pero niego el "algunas".  Todas las intuiciones son fiables. Otra cosa es que en el lenguaje coloquial (y especialmente el lenguaje coloquial de los matemáticos) se emplea la palabra intuición en un sentido vago de "algo que se sabe (o se cree saber) sin saber muy bien por qué". Cuando yo hablo de intuiciones no me refiero a nada de eso. Me refiero a nuestras representaciones mentales espacio-temporales y a nuestro conocimiento de nuestra capacidad de generarlas. Por ejemplo, cuando un topólogo se imagina una situación en un espacio extraño representando unos círculos que representan abiertos y cerrados, y unos puntitos que representan una sucesión, etc., no puede decir que está razonando intuitivamente sobre su espacio raro (digamos la compactificación de Stone-Cech de \( \mathbb N \), porque lo que está representándose son unos meros círculos y puntos, que le pueden ayudar a razonar sobre unos conceptos topológicos, pero no existe nada que pueda llamarse una intuición (una representación intuitiva) de  la compactificación de Stone-Cech de \( \mathbb N \). Por lo tanto, lo que concluya a partir de sus círculos y puntitos no tiene ninguna garantía de corresponderse con un teorema de ZFC, salvo que lo demuestre formalmente. Son esas "pseudointuiciones" las que no son fiables. Cuando se dice que a uno "lo ha engañado la intuición", lo que sucede realmente (salvo casos de error como los que cualquiera puede tener sea al atender a una intuición o sea al formalizar un razonamiento matemático) es que estaba razonando con unas representaciones intuitivas que no correspondían realmente al concepto con el que pretendía razonar. La paradoja de Banach-Tarski no contradice a ninguna intuición porque no tenemos ninguna intuición que corresponda al concepto de subconjunto arbitrario del espacio euclídeo, y la paradoja habla precisamente de eso.

Creo haber leído en posts o libros de Carlos que también asume intuiciones geométricas.

No es que hagan mucha falta, pero ahí están por si uno las necesita. ¿No aprecias ninguna diferencia en tu conocimiento de la geometría tridimensional euclídea y tu conocimiento de la geometría cuatridimensional euclídea? ¿No es cierto en algún sentido que una "te la puedes imaginar" y en la otra "sólo puedes pensar"? Pues eso es lo que te digo cuando te digo que la geometría tridimensional euclídea tiene un contenido intuitivo y la de cuatro dimensiones no. Es verdad que puedes imaginarte objetos cuatridimensionales (por ejemplo un cubo de cuatro dimensiones) pero lo que estás haciendo es imaginarte una representación en perspectiva del cubo. Eso es lo único que cabe en tu intuición, el cubo mismo no.

A mí me gusta que al menos se agregue el adjetivo "intuitivo" cuando se habla de:

Lógica (a la que Carlos se refiere como "razonamiento" antes de desarrollar la teoría formal de lógica de 1er orden),

En efecto, estoy tratando de usar "razonamiento" para referirme a la lógica informal (no en el sentido negativo que "informal" tiene para los matemáticos, sino en el sentido de "no formalizada"), pero nunca diría "lógica intuitiva", porque la lógica no tiene nada de intuitivo: puedo intuir números, puntos, rectas y planos, pero no puedo intuir el modus ponens. El modus ponens no es una imagen espacio-temporal que pueda representarme, sino una forma de razonamiento. La lógica no se funda en la intuición, sino en la razón, que es otra de las cosas con las que contamos antes de contar con la matemática formal.

Geometría (que también debiera llamarse "geometría intuitiva", pero en particular a mí me produce bastante rechazo tomar con seriedad matemática una tal teoría intuitiva).

La única diferencia entre la geometría intuitiva y la geometría formal es que tiene muchos más axiomas: todas aquellas afirmaciones que la intuición puede ratificar directamente sin necesidad de reducirlas a otras previas. Por lo demás, el teorema de Pitágoras necesita una demostración, tanto si aceptas todo lo intuitivamente evidente como si sólo aceptas unos pocos axiomas escogidos entre las afirmaciones intuitivamente evidentes.

Me refiero a cuando dice cosas como esta: "un objeto es de tal colección si hay una manera precisa de decir que pertenece a esa colección".

Aunque no entiendo matemáticamente el sentido de la palabra "preciso",

Es que "preciso" no tiene un sentido preciso, igual que "colección" no tiene un significado preciso. Si "colección" tuviera un significado preciso, estaría justificado hablar de la colección de todas las colecciones, pero esto son palabras sin sentido, precisamente porque no tenemos un concepto preciso de colección, lo único que tenemos son ciertas colecciones definidas precisamente, como pueda ser la de los números naturales, o la de las piezas de un juego de ajedrez. Igualmente, si hubiera un concepto preciso de "definición precisa" podríamos hablar de la totalidad de las sucesiones de números naturales definibles, por ejemplo, y llegaríamos a las típicas contradicciones sobre definibilidad. Tenemos una colección definida con precisión cuando no nos cabe la menor duda de que sabemos lo que significa pertenecer a ella y lo que significa una afirmación sobre la totalidad de sus objetos. Hay muchos casos en los que esto es así, pero eso no significa que todos esos casos de colecciones perfectamente definidas lo estén por satisfacer alguna clase de requisitos generales que constituirían una hipotética (e inexistente) definición de "colección bien definida". No necesito una definición de colección bien definida para reconocer que la colección de los números naturales intuitivos está bien definida.

Por ejemplo, puedo pensar en algún algoritmo que defina una regla que permita determinar si cierto objeto pertenece o no a una colección dada.

Lamentablemente, ese concepto de "estar bien definido" es demasiado restrictivo. Cuando demostremos que toda teoría consistente tiene un modelo, definiremos una sucesión de fórmulas tal que no existe ningún algoritmo para decidir si una fórmula dada está o no en la sucesión, pero la sucesión en sí estará perfectamente definida, en el sentido de que no cabrá duda de que cada fórmula, o cumple lo necesario para pertenecer a la sucesión o no lo cumple. Lo que sucede es que ese criterio depende de si ciertas colecciones de fórmulas son consistentes o contradictorias, y no hay forma algorítmica de decidir eso, pero una colección de fórmulas, o es consistente o no lo es, independientemente de que sepamos decidir cuál es el caso.

Pero más allá de esto, lo que me parece que está sobrando es la palabra "colección".
Esa palabra se entiende enseguida como un sinónimo de "conjunto", o sea, una "bolsa" que contiene en su interior ciertos objetos.

No creo que haga falta pensar en "colecciones".

Estamos más de acuerdo en esto de lo que puedes pensar. Estoy totalmente de acuerdo en que uso "colección" como sinónimo de "bolsa" que contiene en su interior ciertos objetos. Mi reticencia a usar "conjunto" en su lugar no es que pretenda que "colección" signifique otra cosa, sino que la realidad es que "conjunto" en el sentido que le dan los matemáticos normalmente (aunque no lo sepan) es un concepto mucho más técnico y restrictivo. En un modelo de la teoría de conjuntos, puedes considerar muchas colecciones formadas por algunos de sus objetos, pero sólo algunas serán "conjuntos", es decir, serán los elementos que pertenecen a uno de los conjuntos del modelo. Así, en un modelo de ZFC puedes tener colecciones no vacías de números naturales sin mínimo elemento, pero obviamente ninguna de ellas será un conjunto.

Es menos restrictivo pensar en "etiquetas".
El modelo M parece darse como una "colección" de objetos que "pertenecen" a M.

Pero en vez de esa "pertenencia" de tipo conjuntista, podría pensarse en "M" como una etiqueta, o una propiedad, o un adjetivo, y decir algo como: "un objeto x es de tipo M si cumple tal y tal cosa...".

Es una forma de verlo totalmente válida y operativa.

Una propiedad puede darse, aunque no exista el conjunto de los objetos que cumplen esa propiedad.

Yo no aplicaría esto al conjunto (o colección) de los números naturales, pero desarrollaría esa idea para concluir que podemos tener colecciones bien definidas sin tener "la colección de todas las colecciones bien definidas" o, si se quiere, sin tener un concepto bien definido de "estar bien definido". Este hecho es fundamental para entender muchas cosas.

Tras estos casos uno puede entender que no es lo mismo decir que "un objeto x cumple una propiedad P", que hablar de la "colección de aquellos objetos x que cumplen P".

¡Exacto! Yo puedo decir que algo es un modelo de un lenguaje formal y eso no significa que pueda hablar de la totalidad de los modelos de dicho lenguaje, pues eso significaría hablar de colecciones arbitrarias, cuando lo único que tengo es una colección bien definida que me ha servido como universo del modelo, etc. (el etc. es porque lo mismo vale para relaciones y funciones).

En mi opinión, en la etapa de fundamentación de la matemática (como lo es esto de estar definiendo la lógica de 1er orden), no debe usarse la palabra "colección", ni siquiera en forma intuitiva, porque esconde una posible restricción.

Si la discusión se sigue en profundidad, es posible que sea cada vez más difícil despegar las ideas de "satisfacer un criterio o una propiedad P" que "pertenecer a una colección M".

De hecho, a nivel metamatemático es posible que lo correcto sea interpretar ambas cosas como "lo mismo".

Totalmente de acuerdo. Cuando digo "colección" no quiero decir ni más ni menos que lo que estás diciendo: que estoy considerando la totalidad de los objetos que cumplen una cierta propiedad bien definida P (eso sí, donde bien definida es más amplio que tener un algoritmo para verificarla).

Si bien esto ocurre en el "costado formal" de la teoría de conjuntos,
imagino que representa un obstáculo intelectual o mental que impide,
en general, considerar alegremente a "cualquier cosa" como una "colección" o un "conjunto", y que es menos problemático el dar un "criterio" o "propiedad" que indique (sin ambigüedad, con precisión, lo que fuera que esto signifique) si un cierto objeto x cumple o no cumple ese criterio.

¡Exacto! Me estoy emocionando: creo que nunca te he dicho "estoy de acuerdo" tantas veces seguidas a párrafos tan extensos. 

Cuando hablo de "colecciones" no quiero decir ni más ni menos que lo que estás describiendo. Me refiero a la totalidad de los objetos que cumplen un determinado criterio o propiedad, donde "determinado" implica entre otras cosas que sepamos lo que estamos diciendo si decidimos hablar de todos ellos.

La verificación se hace de modo individual,
y las aplicaciones de tipo "función" se hacen también en forma individual.
No es lo mismo que tomar "toda la colección".
(Estoy pensando en que, en cierto modo, el asignar a los términos del lenguaje de 1er orden un objeto del universo U del modelo M, mediante una valoración es una operación mental del tipo "funcional", en que a cada constante del lenguaje formal por ejemplo, lo "aplico" en un objeto del universo U).

He observado varias veces que usas "valoración" en un sentido distinto del que le doy yo. Cada cual puede hablar como quiera, pero señalo la diferencia para evitar malentendidos. Cuando yo digo "valoración" me refiero a un criterio para asignar a cada variable del lenguaje un objeto del universo de un modelo. A la asignación de objetos, relaciones y funciones a los signos de un lenguaje no le he dado nombre en especial (salvo que consideres que eso es simplemente un modelo) pero si tuviera que usar una palabra específica para esa asignación, usaría "intepretación" y reservaría "valoración" para la asignación de un significado a las variables, porque en la teoría se trata de forma diferenciada.

A Carlos los intuicionistas no le gustan.

 

A mí me da todo lo mismo, puesto que creer, no le creo a nadie.

 

Pero sí voy viendo ejemplos que me parecen sugestivos, de que coleccionar es más "arriegado" que "etiquetar".

Aunque me estás llevando la contraria, te doy la razón diciéndote que cuando yo hablo de "coleccionar" me refiero exactamente a lo que tú llamas "etiquetar" (entendiendo —creo— los matices que quieres plasmar en esa distinción).

[Carlos Ivorra]

Una reflexión general sobre el tema que ha planteado (o, desde la perspectiva del foro, ha sacado a relucir por enésima vez, sin que ello suponga cansancio alguno por mi parte) gdl:

Planteo un problema ¿elemental?

Consideremos un lenguaje formal que tenga una constante \( c \) y dos relatores monádicos \( P \) y \( Q \). La pregunta es si esto es cierto o falso:

\( \forall x(Px\rightarrow Qx), \lnot Pc\vdash \lnot Qc \)

Obviamente, todo el mundo dirá que eso es falso, que \( \lnot Qc \) no puede deducirse en \( K_{\mathcal L} \) a partir de las dos premisas, pero... ¿cómo sabemos esto?

Más que preguntar cómo lo sabemos, planteo algo más sutil. Todos sabemos que no se puede demostrar que la teoría de conjuntos es consistente, por lo que cualquier resultado demostrado en la teoría de conjuntos sólo es fiable si ésta es consistente. Ahora bien, ¿necesitamos suponer la consistencia de la teoría de conjuntos para concluir que la respuesta a mi pregunta es negativa, o podemos asegurar que es imposible deducir \( \lnot Qc \) en \( K_{\mathcal L} \) a partir de las dos premisas sin que ello dependa de la consistencia de ninguna teoría formal sofisticada?

Voy a responder yo mismo a la pregunta, pero el problema que queda planteado es si mi respuesta depende de la consistencia de la teoría de conjuntos o si convence a cualquiera de forma absoluta (sin suponer ninguna consistencia) de que, en efecto, la respuesta es negativa.

Consideremos un modelo \( M \) del lenguaje cuyo universo conste de un único objeto \( \bar c \), el cual será, necesariamente la interpretación de la constante \( c \), y consideramos las relaciones \( \bar P \) y \( \bar Q \) tales que \( \bar c \) no cumple la primera, pero sí la segunda.

Entonces, es fácil ver que \( M\vDash \forall x(Px\rightarrow Qx) \) y \( M\vDash \lnot Pc \). Si de las dos premisas pudiera deducirse \( \lnot Qc \), entonces tendría que ser \( M\vDash \lnot Qc \), cuando en realidad se cumple \( M\vDash Qc \), luego, por definición de satisfacción, no se cumple \( M\vDash \lnot Qc \).

Naturalmente, para valorar mi argumento, no basta valorar lo que he escrito aquí. Hay que juzgar si la definición de modelo (o, si se quiere, simplemente la definición de modelo particularizada a este caso concreto) y la definición de satisfacción y verdad en un modelo (o simplemente en este modelo concreto) y el argumento que prueba el teorema de corrección (es decir, que las deducciones lógicas dan lugar a conclusiones verdaderas cuando sus premisas son verdaderas) son "convincentes" de forma absoluta o sólo bajo el supuesto de la consistencia de la teoría de conjuntos. Yo afirmo que lo son de forma absoluta.

[argentinator]

Aunque me estás llevando la contraria

No sé si esto es cierto, y si lo es, no fue mi intención.

Aunque muy probablemente haya sido así en otros hilos. 

porque veo (y me complace ver )

No cantes victoria tan pronto. 

¿No es cierto en algún sentido que una "te la puedes imaginar" y en la otra "sólo puedes pensar"? Pues eso es lo que te digo cuando te digo que la geometría tridimensional euclídea tiene un contenido intuitivo y la de cuatro dimensiones no.

No es lo mismo "intuir" (en el sentido que das, de intuición fiable), que "imaginar" (me puedo imaginar lo que se me antoje).

Que yo no pueda "imaginar" algo de 4 dimensiones sólo dice que no puedo  ni imaginarlo, ni mucho menos intuirlo.
Que yo pueda "imaginar" objetos de 3 dimensiones, no quiere decir que lo que yo imagine de ellos son "intuiciones fiables", como para hacer matemática sobre ellas.

Me resulta muy fácil imaginar unicornios rosados cuyo cuerno está o no presente, según el estado cuántico de un cierto qbit.

Para que una "cosa imaginada" sea una "intuición" (o un objeto mental imaginativo fiable), tienen que cumplirse más condiciones que el mero "poder imaginarlo".

Tengo facilidad para imaginarme muchas cosas, incluso difusas o incompletas. Trazas de intuición.
No puedo darles credibilidad científica a esas cosas.

En cambio, sí que tienen gran utilidad pedagógica.
La imaginación acorta caminos cuando se intenta enseñar a razonar algo, sobretodo si involucra conceptos geométricos.

[Carlos Ivorra]

No es lo mismo "intuir" (en el sentido que das, de intuición fiable), que "imaginar" (me puedo imaginar lo que se me antoje).

Cierto, y cuando dije "imaginar", debía haber dicho "intuir".

Añado: y si "imaginar" generaliza a "intuir", entonces no puedes imaginarte cualquier cosa porque no puedes intuir cualquier cosa. Por ejemplo, no puedes intuir cuatro rectas perpendiculares dos a dos.

[Cristian C]

Hola argentinator:

Estas dos afirmaciones son imaginables:

1. Existe un número par mayor que 2 que no se puede escribir como suma de dos números primos

2. Existe una colección de objetos tal que si le agregamos un nuevo objeto, obtenemos una colección sin ningún objeto.

¿Podrías decir que tus sospechas de que son falsas son iguales en el primer caso que en el segundo?

¿Podrías decir que es concebible que la segunda fuera cierta?

Un "objeto", en la intuición (un puntito, un cuadradito, una manzanita), es una versión simplificada en nuestra mente de una cosa real, sólida, separada de las demás y sin atender a su estructura interna. Digamos que el cerebro actúa con una representación abreviada de las cosas reales (así definidas). Podríamos decir que ha montado un programa para pensar sobre cosas reales que no depende de la presencia de cosas reales, y por lo tanto solo concibe propiedades que valen para todas ellas y no puede dar como "salida" una propiedad que no verifique ninguna de ellas.
La  intuición aritmética es el resultado de pensar sobre estos objetos abreviados, que solo tienen existencia en nuestra mente y cuyo comportamiento debe coincidir con el de los objetos sólidos, aislados y sin estructura interna.
La razón por la que no podemos pensar en una colección de objetos que resulte en una colección vacía luego de agregarle un objeto, es que esto jamás ocurre con objetos reales y el programa intuitivo que tenemos solo puede representar lo que ocurre con objetos reales.

En el fondo, no es muy distinto de lo que ocurre con un sapo frente a una mosca inmovil colgada de un hilo. No la reconoce porque su programa de reconocimiento de moscas no reconoce un punto inmovil en el espacio.

La única forma que tienes de verificar si una afirmación aritmética es intuitiva o no lo es consiste en verificar qué te dice ese programa de reconocimiento.

Pueden haber aspectos sobre los que ese programa de reconocimiento no se pronuncia, como la existencia o no de pares no-Goldbach, pero cuando se pronuncia, no nos cabe ningúna duda respecto al sentido en que se ha pronunciado: una colección vacía no sigue de agregarle un objeto a otra.

Si aun pensaras que podrían existir aspectos sobre los no es seguro lo que dice la intuición, basta que sean seguras las cuatro o cinco cosas en que basamos la aritmética para poder fundarla con solidez.

Saludos.

[argentinator]

Digamos que el cerebro actúa con una representación abreviada de las cosas reales (así definidas). Podríamos decir que ha montado un programa para pensar sobre cosas reales que no depende de la presencia de cosas reales, y por lo tanto solo concibe propiedades que valen para todas ellas y no puede dar como "salida" una propiedad que no verifique ninguna de ellas.

Para explicar la intuición, te has tenido que ir por "afuera" imaginando situaciones de las que sabemos poco, y especulando en terrenos en los que lo más probable es que esté todo difuso, embarrado, a medio hacer.

No creo que haga falta validar los métodos matemáticos yendo a las neurociencias o la psicología, ni mucho menos especulando en el aire sobre cómo son "más o menos" el cerebro y sus capacidades.

Si el tema se pone demasiado especulativo, me terminás dando la razón a mí, porque lo intuitivo tendría que ser algo directo, algo evidente por sí mismo, y no algo que requiera tanto discurso sugestivo.

____________

Llegar a la "intuición firme y clara de algo" puede que requiera mucho trabajo, largos discursos, discusiones y explicaciones.
¿Y entonces, si no es tan evidente ni tan básica, qué actos mentales son más básicos y directos? ¿No será que las bases de la matemática han de ser otros?

Más o menos esto de explicar todo en su justa medida es lo que está haciendo Carlos, y por un lado a mí me parece un trabajo excelente, porque aclarar el correcto sentido de las cosas en los aspectos de fundamentos de la lógica matemática es una tarea que, a mi juicio, es necesaria de hacer.
A mí personalmente me está resultando muy útil.

Por otra parte, todos estos juicios, aspectos y sentidos extramatemáticos se basan en razones extramatemáticas, no-formales, no mecánicas, intuiciones y la confianza en la razón, aún sin definir ni precisar exactamente qué son la intuición, la razón, o la "precisión".

Así que me tiembla un poco el piso, pues el terreno es no-formal, y se hace un extenso uso de "eso" (acá imito a Carlos, en el sentido que le da a la palabra "informal").

______________

Cristian, no quiero desviar mucho el tema de la discusión.
En otro momento y lugar te haría preguntas sobre cuestiones de rigor científico, que tienen que ver con todo esto.

1. Existe un número par mayor que 2 que no se puede escribir como suma de dos números primos

2. Existe una colección de objetos tal que si le agregamos un nuevo objeto, obtenemos una colección sin ningún objeto.

¿Podrías decir que tus sospechas de que son falsas son iguales en el primer caso que en el segundo?

¿Podrías decir que es concebible que la segunda fuera cierta?

Mis posiblidades a 1. y 2. son éstas: sí, no, sin-sentido.

Sólo bajo un contexto precisamente determinado (¿anunciando claramente una previa convención, quizás?) es que me parece admisible analizar si 1. y 2. son afirmaciones, luego afirmaciones correctamente enunciadas, y finalmente si son verdaderas o falsas.

De hecho, puedo imaginarme (me lo estoy imaginando ahora mismo) un conjunto vacío al cual le agrego un elemento, y sigue quedando vacío.
Si es por imaginar, no sé cuál es el problema.

Y lo que es más gracioso, es que yo afirmo esto, y vos no podés juzgar de ninguna manera si es verdad o no que me estoy imaginando lo que me estoy imaginando. Y eso es lo que pasa al meter en el juego elementos subjetivos.

En todo caso, yo puedo pedirte también que me respondas una pregunta:

¿Te parece intuitivo el primer número natural de 71 cuatrillones de dígitos decimales? ¿Te lo podés imaginar?

Si el Universo se acaba antes de que pueda escribir los dígitos de ese número, ¿no será que la intuición que tenía de él era sólo un complaciente autoengaño, y que en realidad no fui capaz de intuir nada?

[feriva]

Hola argentinator:

Estas dos afirmaciones son imaginables:

1. Existe un número par mayor que 2 que no se puede escribir como suma de dos números primos

Hola, Cristian C. Voy a dar mi opinión sólo respecto a este punto, ya que, tiene que ver con uno de mis quebraderos de cabeza recurrente.

 Eso, evidentemente, se puede admitir como posibilidad en teoría, significa que existen "a", "b" y "c" siendo éstos unos naturales particulares, (concretos, o sea, no todos,) tales que

 \( a+b=2c \) con \( a\neq{p} \vee b\neq p;\,p\in{\mathbb{P}}  \) (no pongo subíndices en "p" por comodidad, pero como si los hubiera puesto)

 y nunca existe para esos mismos  "a", "b" y "c"

\( a=p \wedge b=p \).

  La primera condición para números mayores que 4 es cierta, se pude afirmar, la segunda, de momento, es incierta.

 Pero eso se imagina igual que, a partir de que puedo asignar unos ejes de coordenadas al espacio de tres dimensiones, puedo añadir una coordenada más sin que nada lo impida:

 Si puedo imaginar la formalización de un punto general en \( \mathbb{R}^3 \) como \( p=(x,y,z) \), no hace

falta mucha imaginación para añadir otra coordenada  y llegar a esto \( p=(x,y,z,k) \) y, a partir de ahí, añadir "n" coordenadas.

 Ahora bien, ¿qué tipo de imaginación es ésa? Hemos imaginado añadir un símbolo ó "n" símbolos, no hemos visualizado nada geométrico, es una imaginación "abstracta", es más una ocurrencia que algo imaginado. Porque, como ha recordado Carlos por ahí, uno después va a imaginar los cuatro ejes ortogonales de un espacio y no se puede; se puede, sin embargo, dibujar una vaca con alas aunque no exista. Yo creo que aquí está la diferencia entre imaginación o idea imaginada e idea abstracta o abstracción (aquí se me ocurre que el conjunto de las cosas imaginadas está contenido en el conjunto de las ocurrencias pero no se cumple lo recíproco)

 La idea de que puedan existir esos números que harían falsa la conjetura de Goldbach es una idea pensada sobre números representados con letras; no podemos representarlos con números y las coordenadas sí, al menos con ellas se puede hacer eso: p=(1,1,1,1) por ejemplo. Luego, si cupiese, sería todavía más abstracto.

 Saludos.

 

[Carlos Ivorra]

No creo que haga falta validar los métodos matemáticos yendo a las neurociencias o la psicología, ni mucho menos especulando en el aire sobre cómo son "más o menos" el cerebro y sus capacidades.

Cristian C y yo solemos estar bastante de acuerdo en todo, pero si en algo tendemos a diferir es en su tendencia a introducir argumentos neurológicos o psicológicos en estos temas. Aclaro que no comparto esa forma de ver las cosas. Reconozco que la forma de nuestro conocimiento tiene sin duda unas bases neurológicas y psicológicas que son interesantes (bueno, a mí no me interesan mucho, pero reconozco que cualquiera que se interese por ellas está interesándose por algo importante) pero no relevantes para lo que nos ocupa, y nunca habrás visto que yo apele a esa clase de argumentos.

Si el tema se pone demasiado especulativo, me terminás dando la razón a mí, porque lo intuitivo tendría que ser algo directo, algo evidente por sí mismo, y no algo que requiera tanto discurso sugestivo.

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Llegar a la "intuición firme y clara de algo" puede que requiera mucho trabajo, largos discursos, discusiones y explicaciones.
¿Y entonces, si no es tan evidente ni tan básica, qué actos mentales son más básicos y directos? ¿No será que las bases de la matemática han de ser otros?

Te he subrayado la palabra "sugestivo", porque me parece muy oportuno. Estás hablando de la intuición, pero deja que antes de replicarte me refiera a la razón. Como ya he dicho otras veces, lo que hay que presuponer en cualquiera que quiera aprender matemáticas es que tiene una capacidad de intuir y una capacidad de razonar. Sin tener eso a priori, no hay nada que hacer.

Si tú consideras que debería ser posible fundamentar las matemáticas (y, por tanto, enseñar matemáticas y lógica en particular) sin presuponer que quien te escucha sabe ya razonar, te hago una pregunta que puede parecerte estúpida, pero te la digo con toda la seriedad del mundo: ¿por qué no enseñas matemáticas a un pato?

Insisto en que no es una bobada: si realmente no hiciera falta presuponer una capacidad de uso de razón para entender las matemáticas, un pato es tu alumno ideal. Si admites que no es posible enseñar matemáticas a un pato, estás admitiendo que con alguien que no sepa razonar de antemano no hay nada que hacer. Y te digo un pato por ponértelo fácil, porque mi argumento vale igual con un pato que con un zapato. Sílaba arriba o abajo, no importa.

Cuando se dice que uno aprende a razonar, lo único que está aprendiendo es 1) a corregir errores de razonamiento y 2) a razonar espontáneamente.

1) Saber razonar no está reñido con cometer errores. Hasta un matemático de primera línea puede equivocarse en un razonamiento. Pero tener uso de razón implica ser capaz de reconocer los propios errores cuando se los hacen notar a uno. Si alguien comete muchos errores, de forma continuada, se puede decir que "no sabe razonar" en el sentido de que no dará pie con bola cuando lo intente, pero si tiene la capacidad de reconocer cuándo se equivoca, entonces puede "aprender a razonar" en el sentido de autocorregirse y dejar de cometer errores (o disminuir enormemente su frecuencia)

2) Existen dos niveles en la capacidad de razonamiento: un nivel receptivo (ser capaz de reconocer un razonamiento correcto cuando te lo presentan) y un nivel espontáneo (ser capaz de generar razonamientos válidos). Para entender las matemáticas (y la lógica en particular) sólo es necesario lo primero, mientras que lo segundo se puede aprender.

Si alguien (por ejemplo un pato) no es capaz de reconocer un razonamiento válido cuando lo ve, entonces todo intento de enseñarle lógica o matemáticas es inútil. Dicho al revés: si quieres aprender lógica, no puedes permitirte el lujo de decir "enséñame lógica como si yo fuera un pato", porque eso es imposible, o pones de tu parte la capacidad que tienes de reconocer razonamientos válidos, o te quedarás anclado en tu escepticismo.

Lo mismo vale para la intuición. Te parece sospechoso el discurso de Cristian porque te hace pensar que la intuición no es algo tan evidente como debería ser, pero es que el discurso de Cristian no es sospechoso, es culpable, porque es imposible explicar con cualquier discurso, largo o breve, qué es la intuición. La capacidad de intuición, como el uso de razón, es algo que hay que presuponer en un sujeto para que esté capacitado para entender la matemáticas.

Si te dibujo un segmento de recta y un arco de circunferencia (de radio no excesivamente grande), tú sabrás decirme cuál es cuál, pero nadie puede explicar con palabras cuál es la diferencia. Si apareciera un extraterrestre (o, mejor, un habitante de un universo paralelo) que pudiera representarse intuitivamente la geometría euclídea de cuatro dimensiones, de nada serviría que tratara de explicarte por qué es intuitivamente evidente tal o cual afirmación que él ve intuitivamente evidente, porque tú no tienes esa capacidad de intuición y ninguna explicación puede hacer que pases a tenerla. Tú tendrías que decirle: "mira, yo eso no lo veo, así que dime qué afirmaciones debo aceptar como axiomas para seguir tus razonamientos y a partir de ahí podré seguir tus planteamientos geométricos". Y es que, en efecto, las afirmaciones geométricas intuitivas pueden traducirse a axiomas y así desaparece toda necesidad de apelar a la intuición geométrica, pero no puedes hacer lo mismo con la intuición temporal, porque para axiomatizar la intuición temporal (la que te permite hablar de antes, después, una vez, dos veces, tres veces, etc.) necesitas desarrollar una teoría formal que requiere de tu intuición temporal para que entiendas de qué te están hablando.

En la práctica fundamos la lógica apoyándonos tanto en la intuición espacial como en la temporal (por ejemplo, usas tu intuición espacial para decidir si estás leyendo una a o una b), pero con algo de esfuerzo se podría evitar todo uso de la intuición espacial, pero no podemos ir más allá. La intuición tiene que presuponerse, al igual que la razón, y no puede definirse con palabras porque entonces el extraterrestre podría compartir contigo sus intuiciones cuatridimensionales (traducidas a palabras) y eso es imposible.

Cuando apelas a la intuición de alguien, sólo puedes sugerirle conceptos (por eso he subrayado la palabra en tu párrafo) para que él les encuentre por sí mismo su significado. Para explicarle a alguien lo que es una recta sólo puedes dibujarle varias rectas y varias curvas y decirle "éstas son rectas y éstas no", y tendrás que poner suficiente variedad para que no se crea que "recta" quiere decir, por ejemplo "recta horizontal", o algo así. Pero tendrás que apelar a su intuición para que encuentre por sí mismo la diferencia entre las rectas y las curvas, porque tú nunca se la vas a poder explicar.

Cuando hablamos de que la matemática se funda en la razón y la intuición, es un malentendido decir "define razón e intuición", porque si pudiera definirlos, entonces no se fundaría en estos conoceptos, sino en aquellos que me permitieran definirlos. Que se funda en estos conceptos significa que hay dos clases de seres en este mundo, unos son los seres como los patos y los zapatos, que no tienen capacidad de razonar y, en el caso del zapato, ni de intuir, y otros son como los seres humanos, que tienen esa capacidad, y sólo ésos pueden aprender matemáticas. Si tratas de enseñarle matemáticas a un ser que te pide que primero le expliques qué es eso de intuir y razonar, es que te enfrentas a un ser con algo más de capacidad que un pato (porque sabe hablar) pero menos que un ser racional susceptible de que le enseñen matemáticas.

Es verdad que tú me pides que te explique esas cosas, pero, a pesar de lo que he dicho, eso no te aproxima a los patos ni a los zapatos, porque la realidad es que tú sabes razonar perfectamente y sabes distinguir perfectamente si una afirmación como "existen triángulos con dos ángulos rectos" es intuitivamente cierta o falsa sin recurrir a ningún razonamiento a partir de axiomas. Tú lo preguntas (honestamente, eso no lo pongo en duda, digo que te "haces el tonto", sí, pero defendiendo honestamente tu punto de vista)  por razones filosóficas, no por necesidad.

Por otra parte, todos estos juicios, aspectos y sentidos extramatemáticos se basan en razones extramatemáticas, no-formales, no mecánicas, intuiciones y la confianza en la razón, aún sin definir ni precisar exactamente qué son la intuición, la razón, o la "precisión".

El "aún" está de más. Di mas bien "Ahora y siempre, por los siglos de los siglos". Como ya dije, si fuera posible precisar lo que es la precisión podríamos hablar de la totalidad de los conjuntos definibles "precisamente" (porque al haber precisado lo que es la precisión ésta sería una definición precisa) y eso lleva inevitablemente a paradojas. Pero no tener una definición de "precisión" no nos impide reconocer las definiciones precisas. Si te digo que el conjunto A es el conjunto cuyo único elemento soy yo (Carlos Ivorra) ahí tienes una definición precisa, y no necesito saber distinguir si cualquier definición posible cumple o no un criterio de precisión para asegurar que el conjunto A está definido con precisión.

En todo caso, yo puedo pedirte también que me respondas una pregunta:

¿Te parece intuitivo el primer número natural de 71 cuatrillones de dígitos decimales? ¿Te lo podés imaginar?

Perdón si respondo una pregunta que no iba dirigida a mí: No me puedo imaginar ese número, pero me puedo imaginar la estructura de ese número. Ese número es el número de puntitos que habría en una serie de esta forma: \( \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet \), donde los puntos suspensivos representan una cantidad de puntitos inimaginable para mí. Pero eso no me impide razonar con seguridad sobre números como ése. Por ejemplo, si me planteo si la suma de números naturales (intuitivos) es conmutativa, puedo razonar que si pongo unos cuantos puntitos (por ejemplo 3) seguidos de otros puntitos (por ejemplo 2) tengo esto:

\( {\blue \bullet\quad \bullet \quad \bullet}\quad {\red \bullet\quad  \bullet} \)

y que a la hora de contarlos y ver cuántos hay en total (en este caso cinco) me da igual empezar por los azules y seguir con los rojos, o al revés. Y me doy cuenta de que en este hecho no influye que haya exactamente tres y dos puntitos o cualquier otra cantidad, incluso si hay otra cantidad tan grande que soy incapaz de representármela. Mientras sea una sucesión de puntitos de tipo \( \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet \), da igual cuántos puntitos haya en lugar de los puntos suspensivos, el orden de contarlos no alterará el número de puntitos, y por eso la suma es conmutativa aunque los sumandos sean enormes.