Todas las lógicas que citas (y todas las que se me ocurren) se pueden formalizar en la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos se formaliza con lógica de primer orden (con igualdad). Este hecho da a la lógica de primer orden una posición asimétrica respecto a las otras, a menos que me digas que las otras también sirven para fundar una teoría a partir de la cual se puedan construir todas las demás. Yo no conozco el caso. ¿Lo conoces tú? ¿Como rebates esta asimetría para justificar que la "lógica de primer orden es una lógica como cualquier otra"?
Quiero decir: la lógica de primer órden permite fundar una teoría (ZFC) dentro de la cual pueden construirse todas las demás lógicas ¿vale esto mismo para las demás lógicas?
Hola,
Cristian C. He querido responderte antes, pero me ha sido imposible. Como ya he comentado, voy a responderte aquí y, si surge una conversación que pueda ensuciar el hilo, migraríamos a otro en el subforo de lógica.
La teoría de conjuntos se puede formalizar en cualquier lógica que sea suficientemente expresiva. La lógica de primer orden con igualdad es una de ellas y quizás no sea ni la más adecuada para eso. Por ejemplo, en la lógica de segundo orden, la teoría de ZFC tiene menos axiomas ya que algunos axiomas se pueden deducir de los otros. ¿Significa eso que esos axiomas extra son únicamente necesarios porque estamos trabajando en la lógica de primer orden con igualdad?
De hecho, es famosa una cita de Quine "la lógica de segundo orden es la teoría de conjuntos vestida de oveja" que indica cual adaptada está la lógica de segundo orden a la teoría de conjuntos, incluso implicando que son dos aspectos lo mismo.
Ojo. La cita de Quine es despectiva en el sentido de que la lógica de segundo orden tiene los mismos problemas (supongo que de completitud) que la teoría de conjuntos. Puedes buscar más en Google sobre este tema con la cita original "set theory in sheep's clothing" y la cita modificada "set theory in disguise". De hecho, Quine decía que la lógica de segundo orden no era lógica por ese mismo motivo.
Expuesto todo esto, queda por ver (y en esta cuestión no me meto ya que carezco de los conocimientos) cómo formalizar la lógica sin teoría de conjuntos. En todos mis estudios siempre he usado conjuntos para formalizar la lógica. Sin embargo, por lo que veo aquí y en otros sitios, se formaliza la lógica sin presuponer los conjuntos. Supongo que se puede hacer, pero personalmente me surgen muchas dudas sobre las propiedades de los "universos", "colecciones" y demás nombres que se usan en vez de "conjunto": ¿Podemos hablar del universo de todos los universos? ¿Se pueden definir por comprensión sin restricciones? ¿Existe la colección de colecciones que no son miembros de ellas mismas? Etc.
