Antes de comenzar a discutir cosas, y sobre todo preguntar, ya que mis dudas en este tema son más que mis certezas, quiero contribuir con un comentario histórico.
En torno al año 1900 varios matemáticos se vieron envueltos en arduas discusiones sobre los fundamentos de las matemáticas.
Se distinguen Poincaré, Russel, Hilbert, Cantor, Brower, Frege, entre otros.
Tengo acá (en casa) una edición es español del libro Fundamentos de la Geometría, de David Hilbert, editado en Madrid por CSIC.
En este libro se presenta una larga introducción histórica que explica cómo es que Hilbert se terminó interesando por la geometría euclidiana. Al parecer había muchas cuestiones vagas en la matemática de aquel tiempo, y así Hilbert se dispuso a escribir un libro dando axiomas sólidos, completos e inambiguos para la geometría plana.
Al parecer Pasch era un antecedente en la sistematización de los resultados de la geometría a partir de axiomas,
sin embargo el mismo Pasch era filosóficamente anti-axiomas, debido a que él estaba convencido de que la geometría debía basarse en la evidencia empírica, la naturaleza, para elaborar sus principios o enunciados, o lo que fuere.
Hilbert se alejó filosóficamente de esa postura, ya que para él la intuición no era de fiar en este terreno,
y es así que elaboró un sistema lógico-deductivo de la geometría, en el que no hubiera lugar a conceptos intuitivos.
Todo en la teoría de Hilbert se enuncia con proposiciones, ristras de signos, deducciones formales, implicaciones lógicas.
Ningún dibujo o interpretación intuitiva es necesaria, aunque él los haya utilizado con fines pedagógicos.
En su libro, Hilbert se cuestiona acerca de la independencia de los axiomas de la geometría.
Para ello, lo que hace es tomar uno de los axiomas de la teoría, digamos A, y lo reemplaza por su negación -A.
Los demás axiomas se dejan sin tocar.
Queda formado un nuevo sistema axiomático, y él prueba en cada caso que el sistema está bien constituido, exhibiendo un modelo. Y más aún, dicho modelo es un ejemplo distinto a la geometría clásica, o sea una geometría no euclidiana.
Si el axioma A hubiese dependido del resto de la lista de axiomas, entonces no se habrían obtenido teoremas propios de una geometría distinta. (Pensemos por ejemplo en negar la propiedad arquimediana).
En otro capítulo Hilbert plantea el tema de la no-contradicción de los axiomas entre sí.
Para ello, Hilbert exhibe un ejemplo de sistema que cumple los axiomas de la geometría: el sistema de los números reales (o pares de números reales... en fin).
Con ello puede afirmar que los axiomas de la geometría euclidiana son no-contradictorios siempre y cuando el sistema de los números reales, o sea la Aritmética, sea un sistema no-contradictorio.
Si un sistema A de axiomas no conduce a enunciados contradictorios, o sea, no permite afirmar que P y no-P son verdaderas al mismo tiempo, entonces se dice que el sistema A es consistente.
Hilbert probó una consistencia de la geometría que depende, es relativa respecto, de la consistencia de la Aritmética.
En el libro hay unos apéndices dedicados exclusivamente a la cuestión de la consistencia de la Aritmética, el Infinito, y los Fundamentos de la Matemática.
Se ve allí cómo Hilbert fue construyendo su teoría de la Axiomática, en la cual pretende basar toda la matemática.
Aquí él dice que los enunciados matemáticos han de usar un número finito de signos gráficos y un número finito ellos se escriben en un papel para expresar los enunciados matemáticos. También han de ser finitas las cadenas de silogismos empleadas en una demostración, y observa irónicamente que nadie ha podido escribir una demostración con infinitos de ellos.
Aparece en Hilbert la exigencia de finitud en los fundamentos mismos de la lógica como parte de los requisitos de exactitud y rigor en el trabajo matemático. Habla de unas cosas que llama ''los que son'' y ''los que no son'', que nunca entendí bien a qué se refiere, pero puede apreciarse que acepta en gran parte las aportaciones de Russell y Zermelo a la lógica matemática y su axiomatización.
En todo caso, Hilbert insiste en que tanto la Aritmética y la Lógica deben axiomatizarse, y sus teoremas deben probarse con métodos finitarios. También dice que ambas deben axiomatizarse simultáneamente, debido a que en la misma lógica aparece la necesidad de operar con números.
En sus conferencias él afirma que está convencido de la consistencia de los axiomas que él propone en su teoría de la Axiomática.
Hilbert se ve inquietado por la necesidad de probar si todo enunciado es demostrable o no, y habla entonces de una teoría de la demostración. Él cree que su teoría abrirá paso a contestar todas las preguntas matemáticas, y que la aritmética es consistente.
Otro concepto de Hilbert es el de que la no-contradicción de un sistema axiomático de cierta entidad matemática es suficiente para considerar que existe dicha entidad, mientras que otros matemáticos exigen que se exhiba un modelo, o sea un ejemplo al menos, que satisfaga esos axiomas. Se pide así que la teoría sea no-vacía.
Una pregunta que me hago en este punto es, si acaso el hecho de que una teoría sea no-contradictoria es equivalente al hecho de que exista al menos un modelo para dicha teoría. Creo haber leído por ahí que esto es un teorema metamatemático, pero no recuerdo ahora. Si alguien lo sabe...
Hilbert también hablaba de la metamatemática, aquella teoría que se ocupa de estudiar a la matemática misma desde ''afuera'',
y se ocupa de definir y probar cuestiones relacionadas a fórmulas lógicas, enunciados de sistemas de axiomas lógico-matemáticos, y por último discutir si dichos axiomas son consistentes (sin contradicción interna) y completos (dadas una afirmación A y su negación -A, dentro del sistema dado de axiomas, o bien A es demostrable o bien -A es demostrable).
Luego por los años 1930 Godel probó sus famosos teoremas, siempre bajo el supuesto de que se trabaja en el programa formalista de Hilbert, o quizá dentro del logicismo de Russell. Hilbert reaccionó diciendo:
"Me gustaría manifestar que la opinión temporalmente extendida, de que ciertos resultados de Godel implican que mi teoría de la demostración no es posible, ha resultado ser errónea. De hecho, esos resultados demuestran únicamente que para obtener una prueba adecuada de la consistencia uno debe utilizar el punto de vista finitario de una forma más afinada de la que se necesita cuando se trata el formalismo elemental."
Cualquier corrección o comentario a lo que he expuesto será bienvenida.
En todo caso, me gustaría que alguien explique esta última cita que puse de Hilbert, porque la verdad es que no la entiendo.
Y una vez explicada, si creen que es cierto o no lo que Hilbert dice allí sobre los teoremas de Godel.
Por lo demás, deseo comprender enunciados y pruebas de los resultados de Godel de principio a fin, así que no los voy a dejar en paz hasta que todos los cálculos estén claros como el agua.
Sin embargo, he notado que hay dando vueltas en torno al teorema de godel dos tipos de dificultad: una de carácter conceptual o filosófica (o más o menos), y otra de tipo técnico (las pruebas mismas, que son algo difíciles).
Esto que ustedes mencionan acerca de la circularidad, las paradojas, etc., no son conceptos que estén bien definidos en alguna parte. Si bien uno puede definir con precisión clase, conjunto, contradicción, número, etc., no me parece que haya una definición de paradoja. Mientras uno anda paseando por la metamatemática procura evitar las paradojas, pero no sé si hay modo de establecer de un modo más preciso (quizá ustedes sepan de alguno) qué clase de objetos son.
Está también la importante discusión sobre sintaxis (signos vacíos formales) y semántica (significado, interpretación de los signos), que si bien estoy convencido de entender la diferencia entre ambos, cuando quiero aterrizar en Godelandia veo que me confundo de nuevo, irremediablemente.
En cuanto a las dificultades técnicas de las pruebas, ya veremos cuáles surgen.
En principio sólo tengo a mano el libro de Martínez/Piñeiro, pero no sé si basarme en ese libro para la demostración del teorema de Godel porque según tengo entendido dan una prueba algo ''alternativa'', basada en las máquinas de Turing (Piñeiro acaba de decirme que me equivoqué en esto, la prueba que dan ellos sigue las líneas de la original de Godel).
O sea, no me molesta para nada que hagan la prueba así, pero quizá los otros foristas tengan a mano una prueba del teorema de Godel en un formato más parecido al original, y entonces no nos vamos a entender del todo.
Pero confío en el amigo Piñeiro para que me diga hasta donde puedo usar su libro sin riesgo a confundir los distintos tratamientos.
¿Algún PDF en internet con la prueba?
Saludos
