[Nub]

Hola, aca en el foro esta este ejercicio:

Se dejan caer dos esferas pesadas, de distintas alturas, una \( t_o \) segundos después que la otra. Si las dos llegan al suelo al mismo tiempo, \( t_f \) después de haber soltado la primera, ¿desde qué altura se dejaron caer?

El problema es que no entendí la solución, específicamente porque se hace \(  t_f-t_0 \)

Lo voy a hacer como lo haría yo aunque se que esta mal:

Como estoy en una dimensión no usare vectores



Objeto 1)

\( a_1=-g \)
\( v_{1,0}=v_1(0)=0 \) (Pues se deja caer)
\( r_1(0)=h_1 \)

Objeto 2)

\( a_2=-g \)
\( v_{2,0}=v_1(0)=0 \) (Pues se deja caer)
\( r_2(0)=h_2 \)

Aca pueden ver algo raro, pero lo puedo explicar

\( r_2(0)=h_2 \) pero en particular \( r(t)=h_2 \forall{t\leq{}t_o} \)
\( v_2(0)=0 \) pero en particular \( v_2(t)=0 \forall{t\leq{}t_o} \)

Ahora, no se si interpreto mal, pero dice que en el mismo instante, \( t_f \) la pelotas caen al suelo entonces
\( r_1(t_f)=0=-1/2gt^2+0+h_1 \) luego \( h_1=(1/2)gt^2 \)
Analogamente
\( r_2(t_f)=0=-1/2gt^2+0+h_2 \) luego \( h_2=(1/2)gt^2 \)

Y tienen la misma altura...

¿Donde esta el error? ¿La función \( r(t) \) esta bien graficada?
Gracias

[sugata]

Fijate que caen en diferente tiempo. Según tu gráfico y tus ecuaciones, las dos empiezan al mismo tiempo en \( t=0 \)

[Nub]

Fijate que caen en diferente tiempo. Según tu gráfico y tus ecuaciones, las dos empiezan al mismo tiempo en \( t=0 \)

Claro, pero el grafico verde es cte \( h_2 \) hasta llegar a \( t_0 \) es decir que no cayo mientras que el otro si

[sugata]

Vale. La gráfica estaría más o menos bien, pero las ecuaciones no. Ya que ninguna de las dos ecuaciones es constante durante un tiempo, tienes que trasladar el tiempo.

[Nub]

Vale. La gráfica estaría más o menos bien, pero las ecuaciones no. Ya que ninguna de las dos ecuaciones es constante durante un tiempo, tienes que trasladar el tiempo.

Tenes razón la pregunta es porque la ecuación no es constante ¿Sera que se definen cuando ya se empieza a mover el objeto?   

[ani_pascual]

Hola:

El problema es que no entendí la solución, específicamente porque se hace \(  t_f-t_0 \)
...

Si la ecuación del movimiento de la primera piedra es \( y=h_1-\dfrac{1}{2}gt^2 \) y la segunda piedra se deja caer \( t_0 \) segundos después, la ecuación de su movimiento sería \( y=h_2-\dfrac{1}{2}g(t-t_0)^2 \); observa que en el instante \( t=0 \) la posición de la primera piedra es \( y(0)=h_1 \) y la posición de la segunda piedra en el instante \( t=t_0 \), (la que se deja  caer \( t_0 \) segundos después), es \( y(t_0)=h_2 \). Es obvio que si  \( t\in[0,t_0] \) para la segunda piedra es \( y(t)=h_2 \), ya que aún no se ha dejado caer.
Añadido Todo esto si no se tiene en cuenta el rozamiento, en cuyo caso creo que sería imposible que llegaran a la vez 
Saludos

[Nub]

Hola:

El problema es que no entendí la solución, específicamente porque se hace \(  t_f-t_0 \)
...

\( y=h_2-\dfrac{1}{2}g(t-t_0)^2 \);

Porque, si el tiempo comienza para todos igual, osea yo me imagino alguien con un cronometro que tira la primera piedra, el tiempo sigue corriendo tira la segunda por eso preguntaba como estaban definidas las ecuaciones esas, capaz son cuando comienzan a moverse nada mas

[sugata]

Fijate que la ecuación del movimiento es una parábola, no tiene ninguna parte constante. El movimiento, en este caso, partirá del punto en que la velocidad es 0.

[Nub]

La verdad que no entiendo, a lo sumo \( r_2(t)=\begin{cases}{h_2}&\text{si}& t<t_0\\-(1/2)gt^2+v_2(0)t+r_2(0) & \text{si}& t\geq{t_0}\end{cases} \) 

[sugata]

\( S(t) =s_0+v_t+1/2at^2 \)
Esta es la componente \( y \) en movimientos uniformemente acelerados. Una parábola.
Tus ecuaciones las has acotado para este problema, pero simplemente puedes poner como condición \( t\geq{}t_0 \) ya que de para tiempo menor, sale espacio negativo que, en este caso no tiene sentido.
Del mismo modo, el otro movimiento es para \( t\geq{}0 \), ya que el tiempo negativo no tiene sentido físico.