Autor Tema: Determinante de polinomios

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20 Septiembre, 2022, 06:27 pm
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effdrums

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Hola estoy intentando resolver el siguiente problema  por mi cuenta:

sean \( p_1(x),p_2(x),..., p_k(x) \) polinomios (el ejercicio no especifica, yo entiendo que son polinomios en \( P_\mathbb{R}[x] \))  y supongamos:

\( det(A)\neq0 \)

para \( A=\begin{pmatrix} p_{1}(a_1) & p_{2}(a_1) & \ldots & p_{k}(a_1) \\ p_{1}(a_2) & p_{2}(a_2) & \ldots & p_{k}(a_2) \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ p_{1}(a_k) & p_{2}(a_k) & \ldots & p_{k}(a_k)\end{pmatrix} \) y algunos \( a_j \in{\mathbb{R}} \) distintos.

PIDE: Desmostrar que {\( p_1(x),p_2(x),...,p_k(x) \)} es linealmente independiente en \( P_\mathbb{R}[x] \)


MI PLANTEAMIENTO (ESTANCADO)

Entiendo que para demostar que es L.I. hay que probar que para que \( a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+...+a_kp_k(x)= 0 \) si y solo si \( a_1=a_2=...=a_k=0 \)

Si \( p_i(x)=p_{i0}+p_{i1}x+p_{i2}x^2+...+p_{in}x^n \)

tenemos:

\( a_1p_{10}+a_2p_{20}+...+a_kp_{k0}=0 \)
\( a_1p_{11}+a_2p_{21}+...+a_kp_{k1}=0 \)
.
.
.
\( a_1p_{1n}+a_2p_{2n}+...+a_kp_{kn}=0 \)


ahora bien a partir de aquí no entiendo que informacion me da el \( det(A)\neq0 \) para comprovar el sistema de eq dado arriba y ver si son L.I.

NOTA: el ejercicio està sacado del libro Algebra Lineal y Geometria de Eugenio Hernandez 3ª edicion







20 Septiembre, 2022, 06:44 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Si fuesen dependientes alguno de ellos sería combinación lineal de los demás. Por comodidad supongamos que es el primero.

 Tendrías:

\(  p_1(x)=b_2p_2(x)+\ldots+b_kp_k(x) \)

 Si evalúas esa igualdad en los puntos \( a_1,a_2,\ldots,a_k \) tendrías que la primera columna de la matriz dada es combinación lineal de las otras: luego ésta tendría determinante nulo.

Saludos.

20 Septiembre, 2022, 06:47 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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   Otra forma. Supongamos que \( \lambda_1p_1(x)+\ldots +\lambda_kp_k(x)=0 \). Sustituyendo \( x=a_1,\ldots,a_k \) obtenemos el sistema

        \( \begin{cases} \lambda_1p_1(a_1)+\ldots +\lambda_kp_k(a_1)=0 \\\qquad\qquad \ldots\\\lambda_1p_1(a_k)+\ldots +\lambda_kp_k(a_k)=0\end{cases} \)

Por el teorema de Rouché-Frobenius y teniendo en cuenta que \( \det A\ne 0 \) se deduce \( \lambda_1=\ldots=\lambda_k=0 \).

20 Septiembre, 2022, 08:15 pm
Respuesta #3

zorropardo

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Hola estoy intentando resolver el siguiente problema  por mi cuenta:

sean \( p_1(x),p_2(x),..., p_k(x) \) polinomios (el ejercicio no especifica, yo entiendo que son polinomios en \( P_\mathbb{R}[x] \))  y supongamos:

\( det(A)\neq0 \)

para \( A=\begin{pmatrix} p_{1}(a_1) & p_{2}(a_1) & \ldots & p_{k}(a_1) \\ p_{1}(a_2) & p_{2}(a_2) & \ldots & p_{k}(a_2) \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ p_{1}(a_k) & p_{2}(a_k) & \ldots & p_{k}(a_k)\end{pmatrix} \) y algunos \( a_j \in{\mathbb{R}} \) distintos.

PIDE: Desmostrar que {\( p_1(x),p_2(x),...,p_k(x) \)} es linealmente independiente en \( P_\mathbb{R}[x] \)


MI PLANTEAMIENTO (ESTANCADO)

Entiendo que para demostar que es L.I. hay que probar que para que \( a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+...+a_kp_k(x)= 0 \) si y solo si \( a_1=a_2=...=a_k=0 \)

Si \( p_i(x)=p_{i0}+p_{i1}x+p_{i2}x^2+...+p_{in}x^n \)

tenemos:

\( a_1p_{10}+a_2p_{20}+...+a_kp_{k0}=0 \)
\( a_1p_{11}+a_2p_{21}+...+a_kp_{k1}=0 \)
.
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\( a_1p_{1n}+a_2p_{2n}+...+a_kp_{kn}=0 \)


ahora bien a partir de aquí no entiendo que informacion me da el \( det(A)\neq0 \) para comprovar el sistema de eq dado arriba y ver si son L.I.

NOTA: el ejercicio està sacado del libro Algebra Lineal y Geometria de Eugenio Hernandez 3ª edicion


Tu sistema homgeneo puede ser escrito : $$AX=\begin{pmatrix}0\\{0}\\ \vdots\\{0}\end{pmatrix}$$ donde $$X= \begin{pmatrix}a_1\\{a_2}\\ \vdots\\{a_k}\end{pmatrix}  $$


Como $$\det A \neq 0  \Rightarrow{  \exists{ A^{-1}}}$$ luego multiplicando la ecuacion arriba queda: $$A^{-1}AX=A^{-1}\vec{0}=\vec{0}  \Rightarrow{ IX=X=\vec{0}}$$ asi tenemos $$a_1=0 ,a_2=0 ,  ..... , a_k=0$$ por tanto el conjunto de polinomios es L.I.