Autor Tema: Sumas directas

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18 Septiembre, 2022, 09:46 pm
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JesusSaez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Sea \( T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \), \( \beta \) una base de \( \mathbb{R}^3 \)  tal que
\(
[T]_{\beta}=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
1&2&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}
 \)
Si \( W = ker(T-2I) \), pruebe que NO existe un subespacio \( U \) \( T \)-invariante de \( V \) tal que \( \mathbb{R}^3=W\oplus U \) .

19 Septiembre, 2022, 08:41 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sea \( T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \), \( \beta \) una base de \( \mathbb{R}^3 \)  tal que
\(
[T]_{\beta}=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
1&2&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}
 \)
Si \( W = ker(T-2I) \), pruebe que NO existe un subespacio \( U \) \( T \)-invariante de \( V \) tal que \( \mathbb{R}^3=W\oplus U \) .

Comprueba que \( dim(W)=1 \) y por tanto si existiese, \( dim(U)=0 \). Por otra partes los autovalores de \( T \) deberían de ser lo mismos que los de \( T|_W\cup T|_U \).

Los de \( T \) son \( 2 \) con multiplicidad algebraica \( 2 \) y \( 3 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \).

Los (el) de \( T|_W \) es \( 2 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \).

Por tanto de \( T|_U \) son \( 2 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \) y \( 3 \) con multiplicidad algebraica \( 1 \). Pero entonces existe un autovector asociado al \( 2 \) en \( U \) y es falso que \( U\cap W=\{\vec 0\} \) (no serían suma directa).

Saludos.

19 Septiembre, 2022, 09:00 pm
Respuesta #2

JesusSaez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Si, de hecho al resolver el sistema para encontrar el vector propio tengo que
\(
Ker(T-2I)=
\left\langle\
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\right\rangle
 \)
Por lo que
\(
\beta=\left\{
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\right\}
 \)
es una base para \( Ker(T-2I) \) y en consecuencia es de dimensión 1, ¿es correcto?.
Ahora, tengo una duda, ¿si existiera el subespacio \( U \) \( T \)-invariante que cumpla \( \mathbb{R}^{3}=W\oplus U \), se tendria que cumplir que \( dim(U)=2 \), no?
Porque al ser suma directa, las dimensiones deben sumar la dimensión del espacio total.

20 Septiembre, 2022, 11:20 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
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Hola

Si, de hecho al resolver el sistema para encontrar el vector propio tengo que
\(
Ker(T-2I)=
\left\langle\
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\right\rangle
 \)
Por lo que
\(
\beta=\left\{
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\right\}
 \)
es una base para \( Ker(T-2I) \) y en consecuencia es de dimensión 1, ¿es correcto?.

Correcto.

Citar
Ahora, tengo una duda, ¿si existiera el subespacio \( U \) \( T \)-invariante que cumpla \( \mathbb{R}^{3}=W\oplus U \), se tendría que cumplir que \( dim(U)=2 \), no?
Porque al ser suma directa, las dimensiones deben sumar la dimensión del espacio total.

Cierto.

Saludos.