Autor Tema: Ejercicios sobre matrices

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Septiembre, 2022, 03:30 pm
Leído 563 veces

zorropardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 120
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Hola.
Si $$A$$ en una matriz de orden $$n \times n.$$ Indicar verdadero o falso, justificando.
 1) $$ \det A_{i,j} < \det A .$$
2) Si $$A$$ es una matriz triangular superior y $$A^{-1}$$ existe entonces tambien $$A^{-1}$$ sera una matriz triangular superior.
 

13 Septiembre, 2022, 08:34 pm
Respuesta #1

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,532
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
Hola zorropardo.

Para la primera, ¿Qué es det(\( A_{ij} \))? Aunque no sé qué es sospecho que el resultado no es cierto y bastará un contraejemplo.

Para el segundo, usando el método de Gauss para hallar la inversa de una matriz, al escribir la matriz ampliada \( [A|I] \) para \( A \) triangular, siguiendo el método verás que la inversa debe ser triangular superior también. Seguro hay una forma más elegante, pero me parece que esta forma es la natural.

13 Septiembre, 2022, 08:45 pm
Respuesta #2

zorropardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 120
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Hola
$$A_{i,j}$$ es una submatriz donde fue retirado la i-esima fila y la j-esima columna.
Para la segunda entonces tendre que usar induccion matematica, ya si demuestro para el caso $$n=2$$ seria un caso particular. Sera que existe otra forma sin usar induccion  :-\

13 Septiembre, 2022, 09:19 pm
Respuesta #3

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,881
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Si $$A$$ en una matriz de orden $$n \times n.$$ Indicar verdadero o falso, justificando.
 1) $$ \det A_{i,j} < \det A .$$

$$A_{i,j}$$ es una submatriz donde fue retirado la i-esima fila y la j-esima columna.

Considera \( A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix} \) y \( A_{22}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \).

Saludos

13 Septiembre, 2022, 09:23 pm
Respuesta #4

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,532
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
Para la primera puedes tomar \( A=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix} \). Cualquier submatriz tendrá determinante 1 (son matrices de orden 1), mientras que \( det(A)=0 \).

Si quieres un ejemplo no tan trivial considera \( A=\begin{pmatrix}1&1&3\\ 4&5&6\\-7&-8&-9\end{pmatrix} \), cuyo determinante es cero, pero \( A_{1,1} \) tiene determinante 3.

Para la segunda, tienes razón que con inducción es más formal. Puede ser un poco largo de escribir, pero muy sencillo. Aunque apostaría que alguien más por acá podrá tener una idea más elegante.


P.D. manooooh desenfundó más rápido que yo el contraejemplo. Pero de todas formas dejo el mío por si es de utilidad.

14 Septiembre, 2022, 02:54 am
Respuesta #5

zorropardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 120
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Muy bien, muy agradecido muchachos.

14 Septiembre, 2022, 10:00 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 52,435
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

2) Si $$A$$ es una matriz triangular superior y $$A^{-1}$$ existe entonces tambien $$A^{-1}$$ sera una matriz triangular superior.

Una forma que no usa inducción. Que $$A=(a_{ij})$$ sea triangular superior significa que para todo \( i>j \), \( a_{ij}=0 \). Por ser triangular, es inmediato que para que sea inversible los elementos de la diagonal han de ser no nulos

Supongamos que \( A^{-1}=(b_{ij}) \) NO es triangular superior. Sea \( j \) la primera columna donde aparece bajo la diagonal un elemento no nulo; e \( i>j \) la primera fila donde aparece ese elemento no nulo en esa columna. (*)

Como \( A^{-1}\cdot A=Id \) se tiene que \( (A^{-1}\cdot A)_{ij}=0 \). Es decir:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}b_{ik}a_{kj}=0 \)

Por ser \( A \) triangular superior \( a_{kj}=0 \) si \( k>j \); queda:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^j{}b_{ik}a_{kj}=0 \)

Por otra parte por la elección de los índices (*), \( b_{ik}=0 \) si \( k<j<i \), por tanto queda:

\( b_{ij}a_{jj}=0 \)

Pero  \( a_{jj}\neq 0 \) porque está en la diagonal de \( A \) y \( b_{ij}\neq 0 \) por hipótesis (*): contradicción.

Saludos.

14 Septiembre, 2022, 03:30 pm
Respuesta #7

zorropardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 120
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Muchas gracias por su paciencia y tiempo señor Luis. Buena forma de probar sin usar induccion.