Autor Tema: Suma directa

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11 Septiembre, 2022, 07:18 pm
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merybloom

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Hola, he estado intentado demostrar este teorema pero no he sido capaz, espero que podáis ayudarme, muchas gracias


Sea \( V \) un espacio vectorial sobre \( K \) y sean \( U \) y \( W \) dos subespacios de \( V \), tales que \( V=U\oplus{}W \). Entonces, se cumple que

\(  V = U+W \) y la descomposición de todo vector \( x \in{} E \) en la forma \( x = u+w \) con \( u\in{} U \) y \( w\in{}W \) es única.

Espero que la notación se entienda correctamente, muchas gracias.

Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

11 Septiembre, 2022, 07:37 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sea \( V \) un espacio vectorial sobre \( K \) y sean \( U \) y \( W \) dos subespacios de \( V \), tales que \( V=U\oplus{}W \). Entonces, se cumple que

\(  V = U+W \) y la descomposición de todo vector \( x \in{} E \) en la forma \( x = u+w \) con \( u\in{} U \) y \( w\in{}W \) es única.

La definición usual de suma directa de dos subespacios es que \( V=U\oplus W \) si y sólo si \( V=U+W \) y \( U\cap W=\{\vec 0\} \).

Por tanto del hecho de que \( V=U\oplus W \) tienes por definición que \( V=U+W \) y esto significa (también por definición de espacio suma) que todo vector \( x\in V \) se escribe de la forma \( x=u+w \) con \( u\in U \) y \( w\in W \).

Así que lo único que hay que demostrar es la unicidad de esa descomposición. Para ello suponemos que hay dos descomposiciones eventualmente distintas y probaremos que son la misma, es decir:

\( x=u+w=u'+w' \) con \( u,u'\in U \) y \( w,w'\in W \)

Por tanto trasponiendo términis:

\( u-u'=w-w' \)

Pero como \( u,u'\in U \) y \( U \) es subespacio entonces \( u-u'\in U \); por un motivo análogo \( w-w'\in W \). Pero entonces \( u-u'=w-w'\in U\cap W \); pero esa intersección es cero por hipótesis, y así:

\( u-u'=w-w'=\vec 0 \)

Es decir \( u=u' \) y \( w=w' \); las dos descomposiciones son en realidad la misma.

Saludos.

11 Septiembre, 2022, 07:53 pm
Respuesta #2

merybloom

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Muchísimas gracias.