Autor Tema: Diagonalizacion de matrices

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31 Agosto, 2022, 01:07 am
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athairdos

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Hola; me surgio la siguiente duda; en un caso de una matriz 3x3 tal que su polinomio caracteristico tuviera 3 raices simples distintas, tales que su multiplicidad algebraica es 1 y su multiplicidad geometrica fuera 1 tambien, entonces: puesto que el rango de las matrices \( (A-\lambda_{i} I) \) seria 2, y dado que hay 3 de estas matrices (una por cada autovalor), seria correcto asociar la suma del conjunto de dichos rangos (2+2+2=6 o 2x3=6) e identificarlo con la dimension del espacio de matrices de 3x3 , segun \( \frac{n(n+1)}{n} \)?

gracias, saludos

31 Agosto, 2022, 08:36 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola; me surgio la siguiente duda; en un caso de una matriz 3x3 tal que su polinomio caracteristico tuviera 3 raices simples distintas, tales que su multiplicidad algebraica es 1 y su multiplicidad geometrica fuera 1 tambien, entonces: puesto que el rango de las matrices \( (A-\lambda_{i} I) \) seria 2, y dado que hay 3 de estas matrices (una por cada autovalor), seria correcto asociar la suma del conjunto de dichos rangos (2+2+2=6 o 2x3=6) e identificarlo con la dimension del espacio de matrices de 3x3 , segun \( \frac{n(n+1)}{n} \)?

No entiendo nada.

En primer lugar, el espacio de matrices \( n\times n \) tiene dimensión \( n^2 \).

Pones \( \frac{n(n+1)}{n} \) que sería igual a \( n+1 \). No se si es una errata; pero no se a que viene esa dimensión.

Tampoco entiendo a que llamas "asociar"; en principio los rangos de esas matrices en todo caso tienen como interpretación más natural subespacios del espacio ambiente (\( \Bbb R^3 \) si trabajas en los reales en dimensión \( 3 \)). En principio no tiene demasiado sentidos sumar esas dimensiones y "asociarles" (sea lo que sea que signifique eso) una suerte de espacio o subespacio de matrices.

En realidad lo interesante de las matrices \( A-\lambda Id \), es su núcleo que corresponde a autovectores.

Saludos.

31 Agosto, 2022, 08:39 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Hola; me surgio la siguiente duda; en un caso de una matriz 3x3 tal que su polinomio caracteristico tuviera 3 raices simples distintas, tales que su multiplicidad algebraica es 1 y su multiplicidad geometrica fuera 1 tambien, entonces: puesto que el rango de las matrices \( (A-\lambda_{i} I) \) seria 2, y dado que hay 3 de estas matrices (una por cada autovalor), seria correcto asociar la suma del conjunto de dichos rangos (2+2+2=6 o 2x3=6) e identificarlo con la dimension del espacio de matrices de 3x3 , segun \( \frac{n(n+1)}{n} \)?

No sé en realidad qué estás buscando. En general para una matriz \( A\in\mathbb{K}^{n\times n} \) con \( n \) valores propios simples \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) en \( \mathbb{K} \) la suma de los rangos a los que te refieres es

        \( \text{rg }(A-\lambda_1I)+\ldots +\text{rg }(A-\lambda_nI)=(n-1)+\ldots+(n-1)=n(n-1) \).

31 Agosto, 2022, 10:55 am
Respuesta #3

feriva

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Hola; me surgio la siguiente duda; en un caso de una matriz 3x3 tal que su polinomio caracteristico tuviera 3 raices simples distintas, tales que su multiplicidad algebraica es 1 y su multiplicidad geometrica fuera 1 tambien, entonces: puesto que el rango de las matrices \( (A-\lambda_{i} I) \) seria 2, y dado que hay 3 de estas matrices (una por cada autovalor), seria correcto asociar la suma del conjunto de dichos rangos (2+2+2=6 o 2x3=6) e identificarlo con la dimension del espacio de matrices de 3x3 , segun \( \frac{n(n+1)}{n} \)?

gracias, saludos

Si te has despistado y en realidad has querido poner \( \dfrac{n(n+1)}{2}
  \) con n=3, entonces coincide particularmente con 2+2+2. Pero si haces el mismo razonamiento para n=4 tendrías 3+3+3+3= 12 y \( \dfrac{4(4+1)}{2}=10
  \) y no es cierto en general.

Dices en particular para n=3, que no me había fijado.

Es que la “asociación” (si eso es un 2 y no “n”) es una coincidencia algebraica nada más

Esto 2+2+2=2* 3 en general es esto \( (n-1)n
  \), entonces, igualando a la fórmula de la progresión aritmética

\( (n-1)n=\dfrac{n(n+1)}{2}\Rightarrow n^{2}=3n
  \); y su solución única es 3 (cero aparte).

Una coincidencia como tantas.


Saludos.

31 Agosto, 2022, 05:13 pm
Respuesta #4

athairdos

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Hola: gracias a todos; cada una de las respuestas tiene algo instructivo; ahora pienso que tal vez mi pregunta apuntaba a lo siguiente:

Si se suman \( n(n-1) \) y \( n \) se obtiene \( n^{2} \), que es la dimension del espacio de matrices. Si \( n \) es el numero de autovectores de una forma diagonalizable, entonces se puede "asociar" (en el sentido de una correspondencia) todo lo anterior con la dimension \( n^{2} \). No se si es algo trivial, mas el punto era establecer si la forma diagonal explica la dimension \( n(n-1) \) de un subespacio del espacio de matrices, mientras que el conjunto de autovectores explica el remanente.

Tenia la sensacion de que la dimension \( n^{2} \) del espacio de matrices se podia "distribuir", en la diagonalizacion, entre el espacio de matrices y el espacio de traspuestas (o \( E \) y \( E^{*} \))(tal vez teniendo en cuenta intersecciones y/o complementos ortoganles)(?). Por ejemplo, en el caso de 2+2+2, se trataria de 3 planos; las intersecciones serian 3 vectores; los complementos ortogonales serian otros 3 vectores, etc.

Por esta vía al parecer se llega también a la restricción que existe sobre el polinomio mínimo respecto del número de elementos (potencias) linealmente independientes que existen antes de la anulación (es decir, la minima cantidad de potencias l.i necesaria para preparar la anulación).

Si puedo precisar mejor la pregunta, en otro mensaje intentaria hacerlo. Gracias, saludos
;

31 Agosto, 2022, 07:57 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Si se suman \( n(n-1) \) y \( n \) se obtiene \( n^{2} \), que es la dimension del espacio de matrices. Si \( n \) es el numero de autovectores de una forma diagonalizable, entonces se puede "asociar" (en el sentido de una correspondencia) todo lo anterior con la dimension \( n^{2} \)

Pero exactamente, ¿en qué consiste esa correspondencia?.

Por otro lado \( n \) es el número de autovalores (contados con mutliplicidad); autovectores hay infinitos. En todo caso \( n \) es el máximo número posible de autovectores linealmente indpendientes.

Citar
No se si es algo trivial, mas el punto era establecer si la forma diagonal explica la dimension \( n(n-1) \) de un subespacio del espacio de matrices, mientras que el conjunto de autovectores explica el remanente.

Tenia la sensacion de que la dimension \( n^{2} \) del espacio de matrices se podia "distribuir", en la diagonalizacion, entre el espacio de matrices y el espacio de traspuestas (o \( E \) y \( E^{*} \))(tal vez teniendo en cuenta intersecciones y/o complementos ortoganles)(?). Por ejemplo, en el caso de 2+2+2, se trataria de 3 planos; las intersecciones serian 3 vectores; los complementos ortogonales serian otros 3 vectores, etc.

Por esta vía al parecer se llega también a la restricción que existe sobre el polinomio mínimo respecto del número de elementos (potencias) linealmente independientes que existen antes de la anulación (es decir, la minima cantidad de potencias l.i necesaria para preparar la anulación).

Si puedo precisar mejor la pregunta, en otro mensaje intentaria hacerlo. Gracias, saludos

A falta de más concreción, no le veo sentido.

Saludos.

31 Agosto, 2022, 09:19 pm
Respuesta #6

feriva

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Hola: gracias a todos; cada una de las respuestas tiene algo instructivo; ahora pienso que tal vez mi pregunta apuntaba a lo siguiente:

Si se suman \( n(n-1) \) y \( n \) se obtiene \( n^{2} \), que es la dimension del espacio de matrices. Si \( n \) es el numero de autovectores de una forma diagonalizable, entonces se puede "asociar" (en el sentido de una correspondencia) todo lo anterior con la dimension \( n^{2} \). No se si es algo trivial, mas el punto era establecer si la forma diagonal explica la dimension \( n(n-1) \) de un subespacio del espacio de matrices, mientras que el conjunto de autovectores explica el remanente.

Tenia la sensacion de que la dimension \( n^{2} \) del espacio de matrices se podia "distribuir", en la diagonalizacion, entre el espacio de matrices y el espacio de traspuestas (o \( E \) y \( E^{*} \))(tal vez teniendo en cuenta intersecciones y/o complementos ortoganles)(?). Por ejemplo, en el caso de 2+2+2, se trataria de 3 planos; las intersecciones serian 3 vectores; los complementos ortogonales serian otros 3 vectores, etc.

Por esta vía al parecer se llega también a la restricción que existe sobre el polinomio mínimo respecto del número de elementos (potencias) linealmente independientes que existen antes de la anulación (es decir, la minima cantidad de potencias l.i necesaria para preparar la anulación).


Seguro que en física se puede elaborar una teoría con eso (si no está ya considerado dentro de alguna) porque en física se componen teorías a partir de ecuaciones matemáticas y, a veces, de manera muy forzada (hablando de autovectores, en este sentido es muy conocida la historia de la ecuación de De Broglie Dirac). Pero en matemáticas el espacio de tres dimensiones es un espacio más.
Cierto es que no puedo juzgar demasiado, porque sé poco tanto de matemáticas como de física (tómalo solamente como una opinión) pero eso me parece que es como si digo que uniendo el espacio de una dimensión y el de dos tengo el de tres y, en vez de escribir 1+2=3, escribo  \( \dfrac{2(2+1)}{2}=3  \). Por supuesto que es cierto, pero si lo escribo así \( \dfrac{n(n+1)}{2}=3 \)... es falso.
Lo veo un poco como lo que hacen los de la numerología, que toman el santo de un personaje, el día en que nació su portera y el teorema de Pitágoras y, al final, con unas operaciones les sale el 666 (pero que yo lo vea así no quiere decir que sea así, mi opinión no es ni mucho menos la de un experto).

Saludos.

01 Septiembre, 2022, 12:59 am
Respuesta #7

athairdos

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Gracias; la duda en el fondo es sobre la relacion entre descomposicion en subespacios invariantes (T-cícliclo, etc.), por un lado, y el espacio vectorial de matrices, \( n\times{n} \), digamos \( M_{n\times{n}} \)...(el desarrollo en 2 libros q tengo.hasta ahora me han resultado bastante trabajosos y no.he logrado avanzar todo.lo necesario). El planteamiento de la pregunta era muy vago.

He aqui un ejemplo del libro: la pregunta es sobre encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz de 2x2 tenga 2 raices caracteristicas iguales; despues de los calculos para obtener un cuadrado perfecto a partir de \( det(A)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc \) he llegado a la siguiente condicion: \( (a-d)^{2}=-4bc \); tomando arbitrariamente los valores \( a=3 \) y \( d=1 \) se obtiene la relacion \( b=\frac{-1}{c} \); con lo cual se tendria que la condicion para que exista un autovalor doble depende de 3 parametros (?).

La matriz \( \begin{bmatrix}3&\frac{-1}{2}\\2&1\end{bmatrix} \) tiene, en efecto, un autovalor doble.

Una de las dudas la podria escribir asi: esa eleccion de parametros (libres) se puede expresar como alguna relacion de dependencia lineal entre los elementos del espacio \( M_{2\times{2}} \)? Por ej. involucrando (solo) a un subespacio de \( M_{2\times{2}} \)? Para la eleccion de los parametros \( a \) y \( d \), se puede considerar una subbase en un subespacio de dimension 2 de \( M_{2\times{2}} \) (?).

gracias


01 Septiembre, 2022, 09:21 am
Respuesta #8

geómetracat

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Gracias; la duda en el fondo es sobre la relacion entre descomposicion en subespacios invariantes (T-cícliclo, etc.), por un lado, y el espacio vectorial de matrices, \( n\times{n} \), digamos \( M_{n\times{n}} \)...(el desarrollo en 2 libros q tengo.hasta ahora me han resultado bastante trabajosos y no.he logrado avanzar todo.lo necesario). El planteamiento de la pregunta era muy vago.

He aqui un ejemplo del libro: la pregunta es sobre encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz de 2x2 tenga 2 raices caracteristicas iguales; despues de los calculos para obtener un cuadrado perfecto a partir de \( det(A)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc \) he llegado a la siguiente condicion: \( (a-d)^{2}=-4bc \); tomando arbitrariamente los valores \( a=3 \) y \( d=1 \) se obtiene la relacion \( b=\frac{-1}{c} \); con lo cual se tendria que la condicion para que exista un autovalor doble depende de 3 parametros (?).

La matriz \( \begin{bmatrix}3&\frac{-1}{2}\\2&1\end{bmatrix} \) tiene, en efecto, un autovalor doble.
Esto es correcto.

Citar
Una de las dudas la podria escribir asi: esa eleccion de parametros (libres) se puede expresar como alguna relacion de dependencia lineal entre los elementos del espacio \( M_{2\times{2}} \)? Por ej. involucrando (solo) a un subespacio de \( M_{2\times{2}} \)? Para la eleccion de los parametros \( a \) y \( d \), se puede considerar una subbase en un subespacio de dimension 2 de \( M_{2\times{2}} \) (?).
Precisamente de lo que has probado ya se ve que el conjunto de matrices \( 2\times 2 \) con autovalor doble no es ningún subespacio vectorial del espacio vectorial de todas las matrices \( 2 \times 2 \), y por lo tanto no hay ninguna relación lineal entre los coeficientes de una matriz que determine si esa matriz tiene autovalor doble o no.
De hecho, fíjate que has probado que una matriz \( 2 \times 2 \) tiene autovalor doble si y solo si sus entradas cumplen la siguiente relación: \( (a-d)^2=-bc \). Esta relación es una relación cuadrática, y por tanto el conjunto de matrices con autovalor doble forman una cuádrica en el espacio de todas las matrices \( 2 \times 2 \). Esta cuádrica es irreducible, por lo que su conjunto de puntos no coincide con ningún subespacio lineal.

Otra forma de ver que no es un subespacio lineal es observar que, por ejemplo,
\[ \begin{pmatrix}{3}&{-1/2}\\{2}&{1}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}{3}&{-1}\\{1}&{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{6}&{-3/2}\\{3}&{2}\end{pmatrix} \],
pero mientras los dos sumandos de la izquierda tienen un autovalor doble, la matriz de la derecha tiene dos autovalores distintos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Septiembre, 2022, 09:50 pm
Respuesta #9

athairdos

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Gracias! He comprobado que si se observan algunas condiciones para la traza (congruencia, etc.) en el conjunto de matrices que satisfacen \( (a-d)^{2}=-4bc \) se obtiene un conjunto tal que admite, es decir es cerrado para, la multiplicacion; de tal modo que se pueden representar todos los polimomios cuadraticos perfectos \( (x+n)^{2} \) (por ej. para \( n\in{\mathbb{Z}} \) o tal vez \( n\in{\mathbb{Z_{+}}} \)); esto podria ser correcto?

Por ejemplo; la matriz \( \begin{bmatrix}3&-1\\1&1\end{bmatrix} \) tiene polinomio caracteristico \( (x-2)^{2} \), mientras que la matrix \( \begin{bmatrix}3&-1\\1&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&-1\\1&2\end{bmatrix} \) tiene polinomio caracteristico \( (x-3)^{2} \), etc. El producto de ambas matrices es \( \begin{bmatrix}11&-5\\5&1\end{bmatrix} \) cuyo polinomio caracteristico es \( (x-6)^{2} \); etc.

Muchas gracias! un saludo