Autor Tema: Definición de espacio dual

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16 Agosto, 2022, 04:08 pm
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julian403

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Tengo una duda con respecto a lo que es un espacio dual.

Dado un espacio vectorial \( V \), con base \( \{v_1, v_2,\ldots,v_n\} \), y un espacio vectorial \( W \) con base \( \{w_1, w_2,...,w_n\} \).

¿El espacio dual de \( V \) es el conjunto de aplicaciones lineales que llevan \( V \) a los escalares? Es decir, que espacio dual es una aplicación lineal a los escalares. ¿O también puede ser una aplicación lineal que lleva de \( V \) a \( W \)?

16 Agosto, 2022, 07:00 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Tengo una duda con respecto a lo que es un espacio dual.

Dado un espacio vectorial V, con base (v1, v2,...,vn), y un espacio vectorial W con base (w1, w2,...,wn).

¿El espacio dual de V es el conjunto de aplicaciones lineales que llevan V a los escalares? Es decir, que espacio dual es una aplicación lineal a los escalares. ¿O también puede ser una aplicación lineal que lleva de V a W?

Lo primero, aunque con alguna aclaración.

Hay dos tipos de espacios duales que se suelen denominar como el espacio dual algebraico y el espacio dual topológico. Si tienes un espacio vectorial \( V \) sobre un cuerpo \( \mathbb{K} \) de escalares entonces el espacio dual algebraico es aquel compuesto de todas las funciones lineales \( f:V\to \mathbb{K} \), y el espacio dual topológico es aquel en que, además de ser funciones lineales \( f:V\to \mathbb{K} \) tales funciones deben ser continuas.

Por aclarar un poco lo anterior, ahí \( \mathbb{K} \) es observado como espacio vectorial (con la estructura estándar de espacio vectorial sobre sí mismo dada por las operaciones de suma y multiplicación del cuerpo), de ahí que se hable de funciones lineales (entre espacios vectoriales).

Cuando la dimensión del espacio vectorial es finita ambos espacios duales anteriormente descritos coinciden (es decir, que toda función lineal \( f:V\to \mathbb{K} \) resulta ser continua) y se habla simplemente de espacio dual.

16 Agosto, 2022, 07:41 pm
Respuesta #2

julian403

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Gracias por la respuesta Masacroso, ya me queda queda que un espacio dual es una aplicación \( T:V \to K \).  (De vectores a escalares)

Existe una denominación para una aplicación lineal \( T: V \to W \) , siendo \( V \) y \( W \) espacio vectoriales con bases distintas ( y no necesariamente de la misma dimensión)

Saludos.


16 Agosto, 2022, 08:28 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Existe una denominación para una aplicación lineal T: V -> W , siendo V y W espacio vectoriales con bases distintas (y no necesariamente de la misma dimensión).

Simplemente función (o aplicación, es otra forma de decir función) lineal. Añado: las bases vectoriales utilizadas no definen ninguna aplicación lineal sino que, dependiendo de las bases usadas, la misma aplicación lineal tendrá diferentes representaciones.

16 Agosto, 2022, 08:42 pm
Respuesta #4

julian403

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Y solo por curiosidad, ¿por qué se definen en forma genérica las funciones \( T:V\to W \), siendo \( W \) un vector cualesquiera (función, arreglo, etc.) pero el espacio de las funciones de vectores a escalares si tiene un nombre particular, "espacio dual"?. ¿Por la utilidad que se le da en la física? Ya que dado un vector hay muchas variables escalares y no vectoriales que podemos obtener de él (longitud, velocidad, etc.)

17 Agosto, 2022, 08:05 am
Respuesta #5

Masacroso

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Y solo por curiosidad, ¿por qué se definen en forma genérica las funciones T:V->W, siendo W un vector cualesquiera (función, arreglo, etc.) pero el espacio de las funciones de vectores a escalares si tiene un nombre particular, "espacio dual"?

Ahí \( W \) sería un espacio vectorial (no un vector). El espacio dual es importante porque a partir de él se definen varias topologías no metrizables muy importantes en matemáticas que permiten atacar y resolver toda una serie de problemas.

Otra propiedad es que define un pareado que se utiliza mucho en geometrías (pseudo-)riemannianas para muchas operaciones.

Citar
¿Por la utilidad que se le da en la física? Ya que dado un vector hay muchas variables escalares y no vectoriales que podemos obtener de él (longitud, velocidad, etc.)

La utilidad en física es debido a que una gran parte de la física está escrita en el lenguaje de la geometría (pseudo-)riemanniana.

17 Agosto, 2022, 08:16 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Quiero recalcar lo que ya ha comentado Masacroso:

Citar
Añado: las bases vectoriales utilizadas no definen ninguna aplicación lineal sino que, dependiendo de las bases usadas, la misma aplicación lineal tendrá diferentes representaciones.

 Es decir, en todo lo que has preguntando sobra hablar de bases.

Saludos.

17 Agosto, 2022, 09:02 am
Respuesta #7

geómetracat

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Un comentario relacionado con la pregunta inicial, que también ayuda a explicar la preponderancia del espacio dual entre los espacios de aplicaciones lineales, es que a partir del dual y de productos tensoriales puedes construir todos los espacios de aplicaciones (multi)lineales. Por ejemplo, el espacio vectorial \( Hom(V,W) \) de las aplicaciones lineales \( V \to W \) es canónicamente isomorfo al espacio vectorial \( V^* \otimes W \). Esto se usa continuamente, por ejemplo, en geometría diferencial.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Agosto, 2022, 02:50 pm
Respuesta #8

julian403

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Muchas gracias a todos.