Autor Tema: Complemento ortogonal

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14 Agosto, 2022, 04:40 am
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athairdos

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Hola; tengo varias dudas sobre los temas de proyeccion ortogonal, ortogonalizacion y complemento ortogonal; por ahora haria la.siguiente pregunta:

Dado un espacio \( V_{n} \) y un subespacio del mismo de dimension \( m \): \( S_{m} \); dada en este subespacio alguna base \( \left\lbrace u_{0}, ..., u_{m}\right\rbrace \), luego:

Si se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales, entonces:

1-Suponiendo que ese conjunto obtenido tenga dimension \( m \), entonces es dicho conjunto el llamado complemento ortogonal de \( S_{m} \)?

2-los.elementos.del.conjunto obtenido son ortogonales a todos los.vectores de \( S_{m} \)?

Gracias

14 Agosto, 2022, 12:15 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola; tengo varias dudas sobre los temas de proyeccion ortogonal, ortogonalizacion y complemento ortogonal; por ahora haria la.siguiente pregunta:

Dado un espacio \( V_{n} \) y un subespacio del mismo de dimension \( m \): \( S_{m} \); dada en este subespacio alguna base \( \left\lbrace \color{red} u_{0}\color{black}, ..., u_{m}\right\rbrace \), luego:

Deberías de empezar a contar en \( u_1 \) no en un \( u_0 \) si dices que tiene dimensión m y por tanto una base tiene \( m \) vectores.

Citar
Si se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales, entonces:

1-Suponiendo que ese conjunto obtenido tenga dimension \( m \), entonces es dicho conjunto el llamado complemento ortogonal de \( S_{m} \)?

Es que tengo serias dudas de que quieres decir con: "Si se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales".

Si te refieres a conseguir una base del subespacio \( S_m \) pero de vectores ortogonales entre si, eso NO es el complemento ortogonal de \( S_m \). Esto me parece la interpretación más directa de lo que has escrito. Si es otra dime a que te refieres.

El complemento ortogonal de un subespacio  es el conjunto de vectores perpendiculares (ortogonales) a él. Es algo muy inuitivo: por ejemplo en tres dimensiones el complemento ortogonal de un plano es la recta perpendicular a él; o el complemento ortogonal de una recta es el plano perpendicular a ella.

Si trabajas en un e.v. de dimensión \( n \) el complemento ortogonal de un subespacio de dimensión \( m \) debe de tener dimensión \( n-m \).

Citar
2-los.elementos.del.conjunto obtenido son ortogonales a todos los.vectores de \( S_{m} \)?

Como te he dicho antes, con la interpretación que he indicado de lo que has escrito, la respuesta es NO.

Saludos.

P.D. En general creo que debes de aclarar que has querido decir con:

Citar
se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales

Sospecho que querías escribir otra cosa o que te has expresado mal.

28 Agosto, 2022, 05:56 pm
Respuesta #2

athairdos

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Gracias; creo que efectivamente, en mi pregunta habia una confusion entre el tema de obtener una base ortogonal para (a partir de) una base dada de un subespacio \( S_{i} \), por ejemplo, via el proceso de ortogonalizacion, por un lado; y por otro, el tema del complemento ortogonal de un subespacio \( S_{i} \)...

Tengo la impresion de que mi pregunta trataba de aclarar  algo sobre la relacion entre el nucleo de una matriz y el (concepto de) complemento ortogonal; recientemente me han comentado la siguiente relacion: el nucleo de una matriz es igual complemento ortogonal del rango de la traspuesta de la matriz: es decir: \( Ker(A)=(Im(A^{t}))^{\perp} \);

Ahora, si es posible, haria otra pregunta: es ese resultado aplicable al analisis de una forma cuadratica o bilineal en general o, en particular, degeneradas?  Gracias, un saludo