Autor Tema: Transformaciones Lineales

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13 Agosto, 2022, 09:29 pm
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nktclau

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Buenas tardes QUERIDO FORO!!! espero todos se encuentren muy bien.
He estado resolviendo este ejercicio, y me han surgido algunas dudas, en cuanto a procedimiento, quisiera saber si son correctos, de todas formas he dejado las preguntas en naranja.

Sean \( T:P_1\rightarrow{P_2} \) la TL tal que \( [T]_{B\rightarrow{C}}=\begin{pmatrix}{1}&{-1}\\{0}&{2}\\1 & 0\end{pmatrix} \), \( B=\left\{{x-1 ; -x+2}\right\} \) y \( B'=\left\{{x^2-1; -x+1; x^2-x+1}\right\} \) bases de \( P_1 \) y \( P_2 \) respectivamente.

a) Calcular \( [T]_{B\rightarrow{B'}} \)
 
Tengo como dato \( [T]_{B\rightarrow{C}} \)por lo tanto, para realizar este punto plantee  \( [T]_{B\rightarrow{B'}}= [C]_{B'} [T]_{B\rightarrow{C}} \), siendo \( C=\left\{{x^2; x; 1}\right\} \).
De esta manera \( [C]_{B'}= \begin{bmatrix}{\uparrow}&{\uparrow}&{\uparrow}\\{[x^2]_{B'}}&{[x]_{B'}}&{[1]_{B'}}\\{\downarrow}&{\downarrow}&{\downarrow}\end{bmatrix} \)

¿Quisiera saber si el procedimiento empleado es el correcto?

b) Calcular \( [T(v)]_{B'} \), siendo \( [v]_B=-2x+1 \) ¿Cuál es \( [v]_C \)? Justificar.

Para responder la primera parte de este ejercicio, debo hallar las coordenadas de \( [v]_B \) pues el dato que tengo es el polinomio \( v \) en la base \( B \), para saber cuales son las coordenadas hice:
\( [v]_B=-2x+1 \longrightarrow{ -2x+1}=\alpha (x-1)+\beta (-x+2) \) Resolviendo \( [v]_B=\begin{bmatrix}{-3}\\{-1}\end{bmatrix} \).

¿Interpreté bien, o lo hecho está mal?

Finalmente para hallar \( [T(v)]_{\color{red}{B'}} \), resolví \( [T(v)]_{\color{red}{B'}}=[T]_{BB'}[v]_B \)


Para la última parte, cuando preguntan ¿Cuál es \( [v]_C \)? Justificar.
Plantee lo siguiente
                                     \( [v]_C=[B]_C [v]_B \)
Siendo \( C=\left\{{x;1}\right\} \) la base canónica de \( P_1 \). Asi \( [B]_C=\begin{bmatrix}{\uparrow}&{\uparrow}\\{[x-1]_C}&{[-x+2]_C}\\{\downarrow}&{\downarrow}\end{bmatrix} \) y \( [v]_B=\begin{bmatrix}{-3}\\{-1}\end{bmatrix} \)

¿Es correcto el procedimiento?


Desde ya MUCHÍSIMAS GRACIAS!! por vuestro tiempo y GRAN AYUDA!!  ;) :)

Saludos


14 Agosto, 2022, 11:57 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sean \( T:P_1\rightarrow{P_2} \) la TL tal que \( [T]_{B\rightarrow{C}}=\begin{pmatrix}{1}&{-1}\\{0}&{2}\\1 & 0\end{pmatrix} \), \( B=\left\{{x-1 ; -x+2}\right\} \) y \( B'=\left\{{x^2-1; -x+1; x^2-x+1}\right\} \) bases de \( P_1 \) y \( P_2 \) respectivamente.

a) Calcular \( [T]_{B\rightarrow{B'}} \)
 
Tengo como dato \( [T]_{B\rightarrow{C}} \)por lo tanto, para realizar este punto plantee  \( [T]_{B\rightarrow{B'}}= [C]_{B'} [T]_{B\rightarrow{C}} \), siendo \( C=\left\{{x^2; x; 1}\right\} \).
De esta manera \( [C]_{B'}= \begin{bmatrix}{\uparrow}&{\uparrow}&{\uparrow}\\{[x^2]_{B'}}&{[x]_{B'}}&{[1]_{B'}}\\{\downarrow}&{\downarrow}&{\downarrow}\end{bmatrix} \)

¿Quisiera saber si el procedimiento empleado es el correcto?

Está bien. La matriz \( [C]_{B'} \) puede obtenerse cómodamente como la inversa de la matriz \( [B']_C \), es decir, aquella cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base \( B' \) con respecto a la base \( C \).

Citar
b) Calcular \( [T(v)]_{B'} \), siendo \( [v]_B=-2x+1 \) ¿Cuál es \( [v]_C \)? Justificar.

Para responder la primera parte de este ejercicio, debo hallar las coordenadas de \( [v]_B \) pues el dato que tengo es el polinomio \( v \) en la base \( B \), para saber cuales son las coordenadas hice:
\( [v]_B=-2x+1 \longrightarrow{ -2x+1}=\alpha (x-1)+\beta (-x+2) \) Resolviendo \( [v]_B=\begin{bmatrix}{-3}\\{-1}\end{bmatrix} \).

¿Interpreté bien, o lo hecho está mal?

Bien.

Citar
Finalmente para hallar \( \color{red}[T(v)]_B\color{black} \), resolví \( \color{red}[T(v)]_B\color{black}=[T]_{BB'}[v]_B \)

Para la última parte, cuando preguntan ¿Cuál es \( [v]_C \)? Justificar.
Plantee lo siguiente
                                     \( [v]_C=[B]_C [v]_B \)
Siendo \( C=\left\{{x;1}\right\} \) la base canónica de \( P_1 \). Asi \( [B]_C=\begin{bmatrix}{\uparrow}&{\uparrow}\\{[x-1]_C}&{[-x+2]_C}\\{\downarrow}&{\downarrow}\end{bmatrix} \) y \( [v]_B=\begin{bmatrix}{-3}\\{-1}\end{bmatrix} \)

Casi bien. Entiendo que en la matriz en rojo querías poner (fíjate en el subíndice):

\( \color{red}[T(v)]_{B'}\color{black} \)

Después la matriz \( [T]_{BB'} \) que usas es la que obtienes en el primer apartado una vez que lo resuelves por completo.

Saludos.

14 Agosto, 2022, 07:12 pm
Respuesta #2

nktclau

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Hola Luis Fuentes MUCHÍSIMAS GRACIAS por tu tiempo, y GRAN AYUDA!!  ;)

Casi bien. Entiendo que en la matriz en rojo querías poner (fíjate en el subíndice):

\( \color{red}[T(v)]_{B'}\color{black} \)

Después la matriz \( [T]_{BB'} \) que usas es la que obtienes en el primer apartado una vez que lo resuelves por completo.

Corregido!! Muchas Gracias! Había cometido un error de tipeo.  ;D