Autor Tema: Diagonalización

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10 Agosto, 2022, 07:56 pm
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JesusSaez

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Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita \( n \) sobre un campo \( F \) y \( T:V\rightarrow V \) un operador lineal que tiene \( k \) valores propios distintos.
a)Demuestre que si \( dim(E_{\lambda})=n-k+1 \), para algún valor propio \( \lambda \). Demuestre que \( T \) es diagonalizable.
b)Demuestre que si existen valores propios \( \lambda_1,\ldots,\lambda_j \) tales que
\( dim(E_{\lambda_1})+\cdots+dim(E_{\lambda_j})=n-k+j \), entonces \( T \) es diagonalizable.

Para el inciso a) tengo esta idea:
Sea \( \beta_{\lambda} \) una base de \( E_{\lambda} \), la cual tiene \( n-k+1 \) vectores por hipótesis. Ahora, para cada \( \mu\neq \lambda \), se \( dim(E_\lambda)\geq 1 \), por lo que al menos existe un vector propio asociado a \( \mu \), si elegimos un vector propio asociado a cada valor propio, tenemos un conjunto \( \gamma \) de \( k-1 \) vectores, el cual es l.i por ser vectores propios asociados a valores propios distintos, entonces \( \alpha=\beta\cup\gamma \) es un conjunto l.i de \( n \) vectores y por tanto base de \( V \), con lo que \( \alpha \) es una base de \( V \) formada por valores propios de \( T \).
¿es correcto?

Para el inciso b) no se me ocurre algo.

11 Agosto, 2022, 04:02 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

a) Entiendo que se quiere decir \( dim (E_{\mu})\geq{1} \) en ese caso, el camino es correcto; pero eso si se tiene que demostrar \( \alpha=\beta \cup{\gamma} \)    es LI, no es suficiente el hecho de que \( \beta \wedge \gamma \) sean LI por separado, para inferir que la reunión también lo es, en este caso se tiene que demostrar, adicionalmente se demostrará que \( dim (E_{\mu})=1, \ \forall{\mu}\neq \lambda \)

Se puede hacer por inducción considerando primero un solo autovector \( u'\in{E_{\lambda}} \) y demostrando que \( u_1,u_2,...u_{k-1},u' \) son LI, donde \( u_i, \ i=1,2,...,k-1 \) son los autovectores correspondientes a los autovalores \( \mu_1, \mu_2,..., \mu_{k-1} \) y u' es un autovector correspondiente a \( \lambda \) y luego suponiendo válido para m autovectores (LI) de \( \lambda \) generalizarlo a m+1

Resuelto a) el apartado b) es una extensión

Saludos

11 Agosto, 2022, 04:38 am
Respuesta #2

JesusSaez

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De hecho si tomamos un vector \( u'\in E_{\lambda} \) y \( u_j\in E_{\mu_j} \), para \( j\in\{1,\ldots,k-1\} \) se cumple que son l.i por ser vectores propios asociados a valores propios distintos, ¿Es correcto?

Ahora, al demostrar que cualquier número de vectores de \( E_\lambda \) junto con los de los demás eigenespacios son l.i, ¿por qué demostraría que \( dim(E_{\mu_j})=1 \)?

11 Agosto, 2022, 04:50 am
Respuesta #3

delmar

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La respuesta a tu primera interrogante, si es correcto. Eso constituye el primer peldaño para demostrar que \( \alpha=\beta \cup{\gamma} \) es LI

Respecto a la segunda interrogante, por reducción al absurdo, suponiendo que \( \exists{\mu_j} \ / \ dim(E_j)>1, \ 1\leq{j}\leq{k-1} \), demostrado que \( \alpha \) es LI, se tiene que la dimensión de V, sería, por lo menos : \( (k-1)+1+(n-k+1)=n+1 \) es absurdo \( dim(V)=n \)

Saludos

13 Agosto, 2022, 11:54 am
Respuesta #4

JesusSaez

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Tengo otra idea:
Sean \( \lambda_1,\ldots, \lambda_k \) los diferentes valores propios de \( T \) y sin pérdida de generalidad supóngase que \( dim(E_{\lambda_1})=n-k+1 \). Sabemos que la suma de los eigenespacios es directa, es decir \( \sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}=\bigoplus_{i=1}^kE_{\lambda_i} \). Por un lado, como \(  \sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}\leq V \), entonces \(  dim\left(\sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}\right)\leq dim(V)=n \)(*). Por otro lado, tenemos lo siguiente:
\(
dim\left(\sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}\right)=dim\left(\bigoplus_{i=1}^kE_{\lambda_i} \right)
=\sum_{i=1}^kdim(E_{\lambda_i})
 \)
\(
=dim(E_{\lambda_1})+\sum_{i=2}^kdim(E_{\lambda_i})
=n-k+1+\sum_{i=2}^kdim(E_{\lambda_i})
 \)
\(
\geq n-k+1+\sum_{i=2}^k1
=n-k+1+k-1=n (**)
 \)
De (*) y (**), concluimos que \( dim\left(\bigoplus_{i=1}^kE_{\lambda_i}\right)=n=dim(V) \). Dado que \( V \) es de dimensión finita, se cumple que \( V=\bigoplus_{i=1}^kE_{\lambda_i} \), lo cual es una equivalencia a la diagonalizabilidad. Por lo tanto,
 \( T \) es diagonalizable.

¿Es correcto?

14 Agosto, 2022, 12:27 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Está bien.

Saludos.

14 Agosto, 2022, 06:31 pm
Respuesta #6

JesusSaez

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Muchas gracias a todos.