Autor Tema: Límite de funciones en el espacio de Schwartz.

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27 Junio, 2022, 09:24 am
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lindtaylor

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Hola. Estudiando el espacio de Schwartz \( \mathcal{S} \), me han surgido las siguiente preguntas:

Pregunta 1. El límite de una secuencia de funciones en \( \mathcal{S} \), está en \( \mathcal{S} \)?
Pregunta 2. ¿El espacio \( \mathcal{S} \) es completo con las semi-normas \( \left\|\cdot\right\|_{\alpha,\beta} \)?
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27 Junio, 2022, 11:22 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola. Estudiando el espacio de Schwartz \( \mathcal{S} \), me han surgido las siguiente preguntas:

Pregunta 1. El límite de una secuencia de funciones en \( \mathcal{S} \), está en \( \mathcal{S} \)?
Pregunta 2. ¿El espacio \( \mathcal{S} \) es completo con las semi-normas \( \left\|\cdot\right\|_{\alpha,\beta} \)?

Respecto de todas ellas, sí. Me explico: las seminormas inducen una distancia en el espacio de Schwartz respecto al cual el espacio es completo. Típicamente distancias generadas por seminormas \( q_j \) se definen como

\( \displaystyle{
d(f,g):=\sum_{j}a_j\frac{q_j(f-g)}{1+q_j(f-g)}
} \)

tal que los \( a_j>0 \) todos y \( \sum_{j}a_j<\infty  \). Sin embargo en los espacios \( L_p \), para \( p\neq \infty  \) y en \( C_0 \) (de las funciones contínuas que tienden a cero en el infinito) con la norma del supremo, el espacio de Schwartz es denso (por tanto no es un subespacio cerrado de estos espacios antes mencionados)

Nota: evidentemente lo anterior es una función distancia cuando, para cada \( f\neq 0 \) existe un \( j \) tal que \( q_j(f)>0 \), en otro caso sería una pseudo-distancia. También en vez de utilizar la fracción \( \frac{q_j(f-g)}{1+q_j(f-g)} \) se puede utilizar \( \min\{ 1,q_j(f-g) \} \), en cualquier caso, tomando la fracción o el mínimo y con cualquier sucesión \( \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) que cumpla las condiciones anteriormente mencionadas la función (pseudo-)distancia genera la misma topología.