Autor Tema: Teorema de la divergencia de Gauss

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23 Junio, 2022, 05:05 am
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zorropardo

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Hola , tengo el siguiente problema:
Usando el teorema de la divergencia de Gauss para calcular $$\int \int_{S}F.n dS$$ donde $$F(x,y,z)=(x,y,-2z)$$ y la superficie $$S$$ es la parte  del cilindro $$x^2+y^2=2x,$$ limitado por el plano $$z=0$$ y por el cono $$z=\sqrt{x^2+y^2}$$ con vector normal exterior a las superficie $$S.$$
Hice lo siguiente: Como   $$\mbox{div(F)}=0$$ tenemos

$$\int \int_{S_1}F.n_{1} dS_{1}+\int \int_{S}F.n dS+\int \int_{S_{2}}F.n_{2} dS_{2}= 0$$

$$S_{1}: z=0 ; (x-1)^2+y^2=1$$ parametrizando $$\varphi(u,v)=(u,v,0) ; (u-1)^2+v^2 \leq{ 1} \longrightarrow{ \varphi_{u} \times \varphi_{v}=(0,0,1) }$$
 normal pedida $$(0,0,-1)$$
$$F(\varphi(u,v))=(u,v,-2.0)  \longrightarrow{    \int \int_{S_1}F.n_{1} dS_{1} =0 } $$

Para $$S_2: \varphi(r,\theta)=(r \cos \theta,r \sin \theta, r ) ;  0 \leq{  r \leq{  2  \cos \theta }} $$

con normal $$(r \cos \theta, r  \sin \theta, -r)$$ y $$F(\varphi(r,\theta))=(r \cos \theta,r \sin \theta,-2r)  \longrightarrow{ \int \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta   }$$

La pregunta es en que intervalo tomo el angulo $$\theta $$ y porque. Agradezco desde ya.



23 Junio, 2022, 06:55 am
Respuesta #1

Masacroso

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Como deben cumplirse las condiciones \( 0\leqslant r\leqslant 2\cos \theta  \), \( 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi \) y \( r\geqslant 0 \) entonces los valores posibles de \( \theta  \) son aquellos en los que \( 0\leqslant 2\cos \theta  \), y luego los valores posibles de \( r \) vienen determinados por la primera desigualdad.

23 Junio, 2022, 02:05 pm
Respuesta #2

zorropardo

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Hola, entonces quedaria asi:
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta  =0$$
Luego  sustituyendo tenemos

$$\int \int_{S}F.n =0$$

Pero la respuesta dice que es: $$\frac{32}{3}$$  :-\ :-\ :-\ :-\

23 Junio, 2022, 04:45 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Hola, entonces quedaria asi:
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta  =0$$
Luego  sustituyendo tenemos

$$\int \int_{S}F.n =0$$

Pero la respuesta dice que es: $$\frac{32}{3}$$  :-\ :-\ :-\ :-\

Por favor, vuelve a leer con detenimiento mi respuesta anterior.

23 Junio, 2022, 05:16 pm
Respuesta #4

zorropardo

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Hola, es verdad  estaba despistado, deberia ser:
$$\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta+\int_{3\pi/2}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta   =16/3+16/3=32/3$$
solo que en ese caso cuando paso al otro lado cambia de signo y quedaria:

$$\int \int_{S}F.n =-32/3 $$

osea hay un error de signo, que estraño  :-\ :-\.

23 Junio, 2022, 05:28 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Hola, es verdad  estaba despistado, deberia ser:
$$\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta+\int_{3\pi/2}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos \theta}(3r^2) dr d \theta   =16/3+16/3=32/3$$
solo que en ese caso cuando paso al otro lado cambia de signo y quedaria:

$$\int \int_{S}F.n =-32/3 $$

osea hay un error de signo, que estraño  :-\ :-\.

La normal exterior a la superficie es con \( r \) en vez de \( -r \). Sería \( -r \) si considerásemos el volumen que encierra el cono, pero en este caso estamos considerando un volumen que queda fuera del cono. Dicho de otro modo: la normal, exterior al volumen que hemos considerado, apunta hacia el eje del cono.

23 Junio, 2022, 05:42 pm
Respuesta #6

zorropardo

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Muy bien, muy agradecido.