Autor Tema: Cantidad de maneras en subir una escalera de n escalones

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21 Junio, 2022, 12:24 am
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Nub

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Hola, este es un típico ejercicio de recurrencia, pero no he entendido muy bien el razonamiento que he visto en diferentes sitios. Pero se me ocurrió que podría salir como un ejercicio similar de contar secuencias de 0s y 1s de largo n sin 0s consecutivos y usar la regla de la suma.

"Hallar la cantidad de maneras de subir una escalera de n escalones si se puede aveces saltar un escalón"

Sea \(  A_{n}  \)la cantidad de formas de subir una escalera de n escalones pudiendo o no aveces saltar un escalón

Entonces quedan dos casos, comenzar subiendo un escalón, o saltar uno o al reves, después de toda la subida terminar saltando o subiendo un escalón


Caso 1) Terminar la subida subiendo un escalón: Habrían n-1 cantidad de maneras de subir: \( A_{n-1} \)
Caso 2) Terminar la subida saltando un escalón: Habrían n-2 cantidad de maneras de subir: \( A_{n-2} \)

Entonces por regla de la suma, hay \(  A_{n-1}+A_{n-2}  \) formas de subir pudiendo aveces saltar un escalón
entonces \(  A_{n}=A_{n-1}+A_{n-2}  \)

No se si esto de usar la regla de la suma es valido o no, pero para mi tiene sentido ya que son dos tareas a realizarse que no se pueden hacer simultáneamente (sino seria regla del producto) ya que o comienzas subiendo o saltando. Gracias

21 Junio, 2022, 09:03 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, este es un típico ejercicio de recurrencia, pero no he entendido muy bien el razonamiento que he visto en diferentes sitios. Pero se me ocurrió que podría salir como un ejercicio similar de contar secuencias de 0s y 1s de largo n sin 0s consecutivos y usar la regla de la suma.

"Hallar la cantidad de maneras de subir una escalera de n escalones si se puede aveces saltar un escalón"

 Está bien lo que haces.

 Este problema es muy típico. Ha salido en el foro igual o con alguna variante varias veces:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=97756.msg391780#msg391780

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=71845.msg285315#msg285315

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=112237.msg443685#msg443685

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118596.0

Saludos.

21 Junio, 2022, 04:40 pm
Respuesta #2

Nub

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Hola

Hola, este es un típico ejercicio de recurrencia, pero no he entendido muy bien el razonamiento que he visto en diferentes sitios. Pero se me ocurrió que podría salir como un ejercicio similar de contar secuencias de 0s y 1s de largo n sin 0s consecutivos y usar la regla de la suma.

"Hallar la cantidad de maneras de subir una escalera de n escalones si se puede aveces saltar un escalón"

 Está bien lo que haces.

 Este problema es muy típico. Ha salido en el foro igual o con alguna variante varias veces:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=97756.msg391780#msg391780

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=71845.msg285315#msg285315

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=112237.msg443685#msg443685

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118596.0

Saludos.
Gracias,mi principal duda era si se podía aplicar la regla de la suma, ya que como he dicho, en otros sitos colocaban la recurrencia y listo sin explicación, pero no entendía porque sumaban, y me pareció que se podría justificar con la regla de la suma

21 Junio, 2022, 04:49 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Gracias,mi principal duda era si se podía aplicar la regla de la suma, ya que como he dicho, en otros sitos colocaban la recurrencia y listo sin explicación, pero no entendía porque sumaban, y me pareció que se podría justificar con la regla de la suma

¿Quieres saber si es posible escribir el problema usando 0s y 1s y dar con una recurrencia en base a esos números?

Saludos

21 Junio, 2022, 05:04 pm
Respuesta #4

Nub

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Hola

Gracias,mi principal duda era si se podía aplicar la regla de la suma, ya que como he dicho, en otros sitos colocaban la recurrencia y listo sin explicación, pero no entendía porque sumaban, y me pareció que se podría justificar con la regla de la suma

¿Quieres saber si es posible escribir el problema usando 0s y 1s y dar con una recurrencia en base a esos números?

Saludos
No, solo lo dije porque me parecía similar el ejercicio y estoy 98% de que se puede con 0s y 1s, suponiendo que un 0 es subir un escalón y un 1 es un salto. La duda en si era si es correcto aplicar la regla de la suma o no tiene nada que ver

21 Junio, 2022, 06:12 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola

No, solo lo dije porque me parecía similar el ejercicio y estoy 98% de que se puede con 0s y 1s, suponiendo que un 0 es subir un escalón y un 1 es un salto. La duda en si era si es correcto aplicar la regla de la suma o no tiene nada que ver

Por favor, define la regla de la suma.

Saludos

21 Junio, 2022, 06:20 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

No se si esto de usar la regla de la suma es valido o no, pero para mi tiene sentido ya que son dos tareas a realizarse que no se pueden hacer simultáneamente (sino seria regla del producto) ya que o comienzas subiendo o saltando. Gracias

No estoy seguro si te has resuelto tu duda: SI, TU RAZONAMIENTO ES CORRECTO.

El conjunto de formas de subir se divide en dos subconjuntos distintos los que terminan con un salto de un escalón y los  que terminan con un salto en dos escalones. Entonces efectivamente el cardinal del conjunto de formas de subir es la suma de los cardinales de esos dos subconjuntos.

Saludos.

21 Junio, 2022, 07:00 pm
Respuesta #7

Nub

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Hola

No, solo lo dije porque me parecía similar el ejercicio y estoy 98% de que se puede con 0s y 1s, suponiendo que un 0 es subir un escalón y un 1 es un salto. La duda en si era si es correcto aplicar la regla de la suma o no tiene nada que ver

Por favor, define la regla de la suma.

Saludos
Regla de la suma: Si una primera tarea se puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas,y no es posible realizar ambas tareas simultáneamente, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de n+m formas