Autor Tema: Mínimo global implica mínimo local en cualquier cerrado

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20 Junio, 2022, 12:14 am
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S.S

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Hola a todos, tengo estas dos preguntas abiertas, a ver si me pueden ayudar con alguna sugerencia.

(a). Sea \( f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \) uma función continua. Si  \( f \) tiene mínimo global, eso implica que tiene mínimo global en cualquier subconjunto cerrado de  \( \mathbb{R}^{n} \).
(b). Determine si puede existir  \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) la cual tiene un único punto estacionario y el cual es minimizador local de  \( f \) mas no es minimizador global de  \( f \).

Yo creo que la  \( (a) \) es verdadera y la  \( (b) \) es falsa. Pero no sé.

Gracias de antemano.

20 Junio, 2022, 09:40 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, tengo estas dos preguntas abiertas, a ver si me pueden ayudar con alguna sugerencia.

(a). Sea \( f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \) uma función continua. Si  \( f \) tiene mínimo global, eso implica que tiene mínimo global en cualquier subconjunto cerrado de  \( \mathbb{R}^{n} \).
[/tex]

Considera la función \( f:\Bbb R^2\to \Bbb R \):

\( f(x,y)=\begin{cases}{e^{-x^2}y}&\text{si}& y\geq 0\\0 & \text{si}& y<0\end{cases} \)

Es continua y cualquier punto \( (x_0,y_0) \) con \( y_0<0 \) es un mínimo global.

Ahora considera la restricción de la función al cerrado \( \{(x,y)\in \Bbb R^2|y=1\} \). ¿Tiene mínimo global?.



Citar
(b). Determine si puede existir  \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) la cual tiene un único punto estacionario y el cual es minimizador local de  \( f \) mas no es minimizador global de  \( f \).

¿Exactamente cómo te han definido punto estacionario?.

Saludos.

21 Junio, 2022, 01:02 am
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis, Gracias por la respuesta.


Considera la función \( f:\Bbb R^2\to \Bbb R \):

\( f(x,y)=\begin{cases}{e^{-x^2}y}&\text{si}& y\geq 0\\0 & \text{si}& y<0\end{cases} \)

Es continua y cualquier punto \( (x_0,y_0) \) con \( y_0<0 \) es un mínimo global.

Ahora considera la restricción de la función al cerrado \( \{(x,y)\in \Bbb R^2|y=1\} \). ¿Tiene mínimo global?.




Ahí quedo claro. Estaba engañado  :laugh:. Por Punto estacionario entedemos  un punto \( \overline{x} \in \mathbb{R}^{n} \)  tales que \( f^{\prime}(\overline{x})=0 \).

21 Junio, 2022, 10:47 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

(b). Determine si puede existir  \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) la cual tiene un único punto estacionario y el cual es minimizador local de  \( f \) mas no es minimizador global de  \( f \).

Por Punto estacionario entedemos  un punto \( \overline{x} \in \mathbb{R}^{n} \)  tales que \( f^{\prime}(\overline{x})=0 \).

Pues queda el cabo suelto de que hipótesis se ponen sobre la función.

Si NO es derivable en todo punto, es fácil encontrar ejemplos donde tiene un único punto estacionario que es mínimo local, pero no es mínimo global. Entendiendo que punto estacionario es únicamente donde se anula la derivada. La idea es jugar con cambios de crecimiento a decrecimiento de forma no derivable: curvas quebradas.

Si es derivable en todo punto, entonces SI tiene un único punto estacionario y es mínimo local, también es mínimo global.

Sea \( M=f(x_0) \) el mínimo local. Por hipótesis, es el único punto donde se anula la derivada.

1) No puede existir otro punto \( x\neq x_0 \) donde \( f(x)=M \). Si así fuese, por el Teorema de Rolle existiría otro punto \( c \) intermedio donde \( f'(c)=0 \). Eso contradice que \( x_0 \) es el único punto estacionario.

2) Entonces por ser mínimo local, en un entorno \( (x_0-r,x_0+r) \) de \( x_0 \), \( f(x)>M \) para todo punto \( x\in (x_0-r,x_0+r)-\{x_0\} \).

3) Si NO fuese mínimo global, existe \( x_2 \) tal que \( f(x_2)<M \).  Si \( x_2>x_0 \) por (2) existe un \( x_1\in (x_0,x_0+t) \) ya que \( f(x_1)>M \). Y por continuidad existe un punto intermedio \( x_3 \) entre \( x_1 \) y \( x_2 \), mayor que \( x_0 \), tal que \( f(x_3)=M \). Pero eso contradice (1). Lo análogo si \( x_2<x_0 \).

Saludos.

22 Junio, 2022, 08:46 pm
Respuesta #4

S.S

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Hola Luis, Gracias por la respuesta. 

Si NO es derivable en todo punto, es fácil encontrar ejemplos donde tiene un único punto estacionario que es mínimo local, pero no es mínimo global. Entendiendo que punto estacionario es únicamente donde se anula la derivada. La idea es jugar con cambios de crecimiento a decrecimiento de forma no derivable: curvas quebradas.

En este caso puedo tomar por ejemplo:
\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} x^{2} & \mbox{si }x \in(-\infty,2)
\\ -4x+4 & \mbox{si }x\in(2,4)\\
2x-12& \mbox{si }x\in(4,\infty)
\end{matrix}\right. \) 

Gracias de nuevo.

23 Junio, 2022, 08:35 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

En este caso puedo tomar por ejemplo:
\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} x^{2} & \mbox{si }x \in(-\infty,2)
\\ -4x+4 & \mbox{si }x\in(2,4)\\
2x-12& \mbox{si }x\in(4,\infty)
\end{matrix}\right. \) 

Esa valdría; aunque ni siquiera es continua. Se podría dar un ejemplo de una continua (que quizá es lo que intentabas y se te ha colado una errata):

\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} x^{2} & \mbox{si }x \in(-\infty,2)
\\ -4x+\color{red}12\color{black} & \mbox{si }x\in(2,4)\\
2x-12& \mbox{si }x\in(4,\infty)
\end{matrix}\right. \)

Saludos.

23 Junio, 2022, 01:58 pm
Respuesta #6

S.S

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