[G]

Un oscilador armónico de masa m y frecuencia natural de oscilación \( \omega_0 \) se mueve en un medio donde la fuerza de rozamiento es propocional a la velocidad. Por otro lado \( \gamma =\omega_0 \). La posición inicial es \( x_0 \) y la velocidad inicial es nula.
1) Hallar la posición del oscilador en función del tiempo.
2) La potencia disipada en cada instante.
3) Energía que pierde el oscilador entre el instante 0 y el instante \( \displaystyle\frac{1}{3\gamma} \)

En el apartado 1 he resuelto la EDO con las condiciones iniciales y he llegado a:
\( x(t)=(x_0+x_0\gamma t)exp(-\gamma t) \)
Los otros dos apartados no sé hacerlos.

[delmar]

Hola

Se entiende que en un oscilador armónico, la masa (extremo libre del resorte) cumple la Ley de Newton, suponiendo el eje X coincidiendo con la dirección del resorte y el origen de coordenadas con la posición de la masa con resorte sin deformar  y sentido positivo (resorte tenso) y negativo (resorte comprimido), la masa ha de estar en un medio con el cual roza, considerando una constante de rozamiento \( \mu \) en esas condiciones la ley de Newton establece :

\( -kx- \mu x'=mx'', \ \forall{t}\geq{0}, \ x(0)=x_0, \ x'(0)=0 \) donde k es la constante elástica del resorte

Arreglando la ecuación se tiene :

\( mx''+ \mu x'+kx=0 \) esta ecuación tiene diversas soluciones dependiendo del valor \( D=\mu^2-4mK \) según sea \( D>0, \ D=0, \ D<0 \)

La ecuación que se ha puesto en la respuesta anterior corresponde al caso D=0, en realidad para \( D\geq{0} \) no hay oscilación propiamente dicha, la oscilación se da cuando D<0 en ese caso la solución tiene esta forma :

\( x(t)=Ae^{-(\mu t)/(2m)} \ cos (wt+\phi) \) donde \( w=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{k}{m}-(\displaystyle\frac{\mu}{2m}})^2 \) se entiende que \( w_0=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{k}{m}} \)  y en realidad no se dice cual es la constante de proporcionalidad del rozamiento ¿es \( \gamma \) o solo es una denominación de la frecuencia natural? y A y \( \phi \) se determinan con las condiciones iniciales de posición y velocidad


Saludos

[G]

Gracias, y ¿cuál seria la potencia disipada en cada instantes y la energía que pierde el osculador entre el instante 0 y \( \displaystyle\frac{1}{3\gamma} \)

[Richard R Richard]

Cuál es la energía de una onda?
La potencia disipada  a cada instante es lo que cae la energía de la onda por unidad de tiempo, es decir esa potencia es la menos derivada de la energía de la onda respecto del tiempo.
Para calcular la energía pérdida debes restar a la energía inicial ,la energía que le queda al cabo del tiempo dado.  O bien integrar la potencia entre 0 y ese tiempo dato.

[G]

Vale, el problema es que yo no se resolver EDO el profesor me ha dicho que para el primer apartado busque la ecuación directamente y la ponga ya que aun no hemos dado la resolucion de EDO.

He encontrado la ecuación que puse en el primer mensaje al ser \( \gamma=\omega_0 \):
\( x(t)=(C_1+C_2 t)e^{-\gamma t} \)
donde \( C_1=x_0 \) y \( C_2=x_0 \gamma + v_0 \)
Aplicando las condiciones inciales tenemos:
\( C_1=x_0 \)
\( C_2=x_0 \gamma \)
Por tanto:
\( x(t)=(x_0+x_0 \gamma)e^{-\gamma t} \)

¿Sería correcto?

[G]

Para el apartado 2 he llegado a que la energia disipada sería:
\( P(t)=dE/dt=-bv^2 \)
¿Es correcto?

[G]

Para el apartado 3:
\( \displaystyle\int_{0}^{1/3\gamma}-bv^2 dt=-\displaystyle\frac{1}{3\gamma}bv^2 \)

[delmar]

Vale, el problema es que yo no se resolver EDO el profesor me ha dicho que para el primer apartado busque la ecuación directamente y la ponga ya que aun no hemos dado la resolucion de EDO.

He encontrado la ecuación que puse en el primer mensaje al ser \( \gamma=\omega_0 \):
\( x(t)=(C_1+C_2 t)e^{-\gamma t} \)
donde \( C_1=x_0 \) y \( C_2=x_0 \gamma + v_0 \)
Aplicando las condiciones inciales tenemos:
\( C_1=x_0 \)
\( C_2=x_0 \gamma \)
Por tanto:
\( x(t)=(x_0+x_0 \gamma)e^{-\gamma t} \)

¿Sería correcto?

Para claridad de una resolución es conveniente mostrar el principio del proceso, en este caso decir la ecuación diferencial, creo entender  que a la ecuación : \( x''+(\displaystyle\frac{\mu}{m}) x' +(\displaystyle\frac{k}{m}) x=0 \) donde \( \mu \) es la constante de proporcionalidad del rozamiento respecto a la velocidad (ni en el enunciado ni en la solución se lo ha puesto), se hacen algunas simplificaciones \( w_0^2=k/m \) y \( 2\gamma=\mu/m \) de esta manera la ecuación queda :

\( x''+2\gamma x'+w_0^2x=0 \)
La primera simplificación es cierta \( w_0 \) es la frecuencia natural de oscilación, es una verdad
La segunda es solamente una denominación que ayuda; pero ha debido manifestarse en la resolución
Bajo estos supuestos el oscilador NO OSCILA, y la respuesta que has puesto es correcta, lo puedes graficar no hay oscilación
La ecuación es \( x(t) =(x_0+x_0\gamma t) e^{-\gamma t}  \)
Saludos

[delmar]

Para el apartado 2 he llegado a que la energia disipada sería:
\( P(t)=dE/dt=-bv^2 \)
¿Es correcto?

Supongo que b es la constante de proporcionalidad del rozamiento respecto a la velocidad es decir \( b=\mu \), en ese caso es correcto, esa es la potencia que se disipa por rozamiento

[delmar]

Para el apartado 3:
\( \displaystyle\int_{0}^{1/3\gamma}-bv^2 dt=-\displaystyle\frac{1}{3\gamma}bv^2 \)

En este punto  has de considerar \( v=x'(t) =-x_0 \gamma^2 t e^{-\gamma t}  \) y a partir de ahí hacer el integral, sería conveniente solo expresarlo en función de datos conocidos, velocidad no es conocida en \( 1/(3\gamma) \)