Autor Tema: Sucesión acotada y convergente a 0 implica que la aplicación es continua

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22 Mayo, 2022, 02:16 pm
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Mate_matica

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Demostrar que si una aplicación lineal T cumple que para toda sucesión convergente a cero sus imágenes están acotadas, entonces la aplicación T tambien deben tender a cero.
Se pide que la aplicación lineal T sea un funcional, ¿es necesario esta condición para esta implicación?

22 Mayo, 2022, 04:50 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Supongamos que \( (x_n) \) tiende a cero, pero \( (Tx_n) \) no. Entonces, existe un \( \epsilon>0 \)  tal que para todo \( N \) existe un \( m>N \) con \( ||Tx_m||>\epsilon \). Por tanto, pasando a una subsucesión, tenemos que existe una sucesión \( (x_n) \) que tiende a cero pero \( ||Tx_n||>\epsilon \) para todo \( n \). Observa que en particular esto implica que \( x_n \neq 0 \) para todo \( n \).

Considera ahora la sucesión \( \left( \frac{x_n}{\sqrt{||x_n||}}\right) \) y prueba que es una sucesión que tiende a cero pero tal que su imagen por \( T \) es no acotada.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)