Autor Tema: Revisión de 2 demostraciones.

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03 Mayo, 2022, 11:27 am
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Suiron

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Me gustaría revisar 2 demostraciones que estoy usando. Ambas surgen a raíz de una lectura relativa a funciones lipschitzianas, pero tengo dudas sobre un paso concreto que involucra a la norma de un gradiente.

Teorema 1-.
Sea \( X \subset \mathbb{R}^{N} \) un conjunto compacto y convexo. Sea \( f \colon X \longrightarrow \mathbb{R} \) una función continua, diferenciable y con gradiente continuo. Entonces \( f \) es lipschitziana.

Spoiler
Demostración:
Dados \( x, y \in X \), considérese el segmento \( [x, y] \) y su parametrización \( \gamma(t) = (1 - t)x + ty, \ \forall t \in [0, 1] \); la cual verifica que \( \gamma'(t) = y - x \). Entonces
\( \displaystyle |f(y) - f(x)| = \left| \int_{0}^{1} \frac{d \big(f\circ \gamma \big) (t)}{dt} dt \right| = \left| \int_{0}^{1} \nabla f \big( \gamma(t) \big) \cdot \gamma'(t) \ dt \right| \leq \int_{0}^{1} \big| \nabla f \big( \gamma(t) \big) \cdot (y - x) \big| dt \)

Como \( \nabla f \) es continuo, la función \( ||\nabla f|| \) es una función real definida sobre un compacto y alcanza un máximo absoluto; esto es, \( \exists K > 0 \) tal que \( ||\nabla f(x)|| \leq K, \forall x \in X \). Basta con aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwartz para poder concluir:
\( \displaystyle |f(y) - f(x)| \leq \int_{0}^{1} \big| \big\langle \nabla f\big( \gamma (t) \big), \gamma'(t) \big\rangle \big| \leq \int_{0}^{1} ||\nabla f \big( \gamma(t) \big)|| \ ||y - x|| \leq K ||y - x||, \ \forall x, y \in X  \)
[cerrar]



Teorema 2-.
Sea \( A \subseteq \mathbb{R}^{N} \) un conjunto abierto y sea \( f \colon A \longrightarrow \mathbb{R} \) una función diferenciable. Entonces \( f \) es localmente lipschitziana.

Spoiler
Demostración:
Por ser \( f \) diferenciable en \( A \), dado \( x_{0} \in A \) se sigue que
\( \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \ / \ \text{si } ||x - x_{0}|| < \delta \ \Longrightarrow \ \displaystyle \frac{|f(x) - f(x_{0}) - D f(x_{0}) (x - x_{0})|}{||x - x_{0}||} < \varepsilon \)

Por otro lado, fijado un \( \varepsilon > 0 \) se tiene que
\( \begin{array}{rcl}
|f(x) - f(x_{0})| & \leq & \displaystyle |f(x) - f(x_{0}) - \nabla f(x_{0}) \cdot (x - x_{0})| + |\nabla f(x_{0}) \cdot (x - x_{0})| < \\
& < & \varepsilon ||x - x_{0}|| + ||\nabla f (x_{0})|| \ ||x - x_{0}|| = \big( \varepsilon + ||\nabla f(x_{0})|| \big) ||x - x_{0}||
\end{array} \)

Tomando \( k = \varepsilon + ||\nabla f(x_{0})|| \) y el correspondiente \( \delta \) asociado a \( \varepsilon \) se tiene que \( f \) es localmente lipschitziana.
[cerrar]


Aparte de si están bien redactados los enunciados y las demostraciones, me surge la duda de si son correctas. Mayormente porque estoy usando la norma del gradiente con dos acepciones distintas: en el primer teorema como \( ||\nabla f|| \colon \mathbb{R}^{N} \longrightarrow \mathbb{R} \) y en el segundo teorema como \( ||\nabla f(x_{0})|| = \displaystyle \max_{||x||=1} \big\{ ||\nabla f(x_{0}) x||\big\} \) (por la lectura que usé como base).

Hace mucho que no he tocado temas de diferenciabilidad, gradientes, espacios normados, ni interpretaciones y tal ya que estuve de parón por salud varios años y estos meses al retomarlo tengo bastantes lagunas. Es posible que esté interpretando algo mal o pasando por alto algún detalle importante.

Gracias por vuestra ayuda y vuestro tiempo.

03 Mayo, 2022, 12:23 pm
Respuesta #1

geómetracat

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El primer teorema y su demostración lo veo bien.

Sobre el segundo, ¿puedes poner exactamente la definición que manejas de localmente Lipschitz? Para mí localmente Lipschitz no es lo que pones (pruebas), sino algo más fuerte: que cada punto tenga un entorno \( U \) tal que \( f|_U \) es Lipschitz.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2022, 12:39 pm
Respuesta #2

Suiron

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Uso la misma definición que dices para localmente Lipschitz: para cada punto del dominio puedes restringirte a un entorno en el que es lipschitziana.

El entorno al que nos restringimos en cada punto para ver que es localmente Lipschitz es el entorno que se usa para la diferenciabilidad. Estaríamos viendo que, fijado cierto \( \varepsilon> 0 \), la función \( f _{|B(x_{0}, \delta)} \) es lipschitziana de constante \( \varepsilon + ||\nabla f(x_{0})|| \)

03 Mayo, 2022, 12:58 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Uso la misma definición que dices para localmente Lipschitz: para cada punto del dominio puedes restringirte a un entorno en el que es lipschitziana.

El entorno al que nos restringimos en cada punto para ver que es localmente Lipschitz es el entorno que se usa para la diferenciabilidad. Estaríamos viendo que, fijado cierto \( \varepsilon> 0 \), la función \( f _{|B(x_{0}, \delta)} \) es lipschitziana de constante \( \varepsilon + ||\nabla f(x_{0})|| \)

No, lo que estás viendo no es eso. Lo que estás viendo es que \( |f(x)-f(x_0)| \leq K||x-x_0|| \) si \( ||x-x_0|| < \delta \), para un \( x_0 \) fijado. Mientras que para localmente Lipschitz lo que debes ver es que \( |f(x)-f(y)| \leq K ||x-y|| \) si \( x,y \in B(x_0, \delta) \). Fíjate la diferencia: en lo que pruebas tú tienes un punto siempre fijado, en localmente Lipschitz ambos puntos varían sobre la bola.

Ahora que nos hemos puesto de acuerdo en qué significa localmente Lipschitz, el teorema 2 es falso. Hay funciones diferenciables (pero no de clase \( C^1 \)) que no son localmente Lipschitz. Un ejemplo clásico en una dimensión es:
\[
f(x)=\begin{cases}{x^2\sin(1/x^2)}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases}
 \]
Esta no es Lipschitz en ningún entorno del \( 0 \).

Lo que sí es cierto es que cada función de clase \( C^1 \) es localmente Lipschitz. Esto se prueba básicamente aplicando tu teorema 1 a un entorno compacto de cualquier punto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2022, 01:19 pm
Respuesta #4

Suiron

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No, lo que estás viendo no es eso. Lo que estás viendo es que \( |f(x)-f(x_0)| \leq K||x-x_0|| \) si \( ||x-x_0|| < \delta \), para un \( x_0 \) fijado. Mientras que para localmente Lipschitz lo que debes ver es que \( |f(x)-f(y)| \leq K ||x-y|| \) si \( x,y \in B(x_0, \delta) \). Fíjate la diferencia: en lo que pruebas tú tienes un punto siempre fijado, en localmente Lipschitz ambos puntos varían sobre la bola.

Claro, claro... Me estaba obcecando tanto en la interpretación del gradiente que ni había caído en que tenía un valor fijo.


... el teorema 2 es falso. Hay funciones diferenciables (pero no de clase \( C^1 \)) que no son localmente Lipschitz. Un ejemplo clásico en una dimensión es:
\[
f(x)=\begin{cases}{x^2\sin(1/x^2)}&\text{si}& x \neq 0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases}
 \]
Esta no es Lipschitz en ningún entorno del \( 0 \).

Lo que sí es cierto es que cada función de clase \( C^1 \) es localmente Lipschitz. Esto se prueba básicamente aplicando tu teorema 1 a un entorno compacto de cualquier punto.

Respecto al contraejemplo, ¿no fallaría la condición de diferenciabilidad? La hipótesis requiere que sea diferenciable en un dominio abierto y la función del contraejemplo en \( x=0 \) es continua pero no diferenciable. Desde luego esa función no es Lipschitz en ningún entorno del 0, pero falla como contraejemplo, ¿no?

Spoiler
El resultado lo leí en https://math.stackexchange.com/questions/3157153/differentiability-implies-lipschitz-continuity-multivariable
Lo dejo en el spoiler porque nunca me acuerdo bien de la política respecto a enlaces externos.
[cerrar]

03 Mayo, 2022, 01:26 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Sí que es diferenciable en el \( 0 \):
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} h\sin(1/h^2) = 0 \],
el último paso por ser producto de \( h \) (que se va a cero) y \( \sin(1/h^2) \) que está acotado en un entorno (agujereado) de cero.

En cuanto a enlaces a otros foros no hay problema en ponerlos (siempre que no sea spam).
Fíjate que en el enlace que pones la definición que dan de localmente Lipschitz es la que usas en tu demostración, con el \( x_0 \) fijado, que no es la definción estándar de localmente Lipschitz. Si tomas esa definición tu demostración es correcta.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2022, 02:09 pm
Respuesta #6

Suiron

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Entonces el segundo teorema se convertiría en

"Teorema" 2-.
Dado \( A \subseteq \mathbb{R}^{N} \) un abierto y dada \( f \in \mathcal{C}^{1}(A, \mathbb{R}) \), \( f \) es localmente Lipschitz.

Demostración:
Sea \( x_{0} \in A \) y considérese un entorno compacto de él (por ejemplo, una bola cerrada centrada en el punto). Por el teorema 1, para cada \( x_{0} \in A \) la función \(  f_{|\overline{B}(x_{0}, r)} \) es lipschitziana (con un radio apropiado).


¿Hay quizá alguna implicación más fuerte para afirmar que una función es Lipschitz o localmente lipschitziana? Como que visto así se queda un poco flojo... Aunque quizá esto ya debería ser un nuevo post (condiciones suficientes para ello).

03 Mayo, 2022, 02:20 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Entonces el segundo teorema se convertiría en

"Teorema" 2-.
Dado \( A \subseteq \mathbb{R}^{N} \) un abierto y dada \( f \in \mathcal{C}^{1}(A, \mathbb{R}) \), \( f \) es localmente Lipschitz.

Demostración:
Sea \( x_{0} \in A \) y considérese un entorno compacto de él (por ejemplo, una bola cerrada centrada en el punto). Por el teorema 1, para cada \( x_{0} \in A \) la función \(  f_{|\overline{B}(x_{0}, r)} \) es lipschitziana (con un radio apropiado).
Bien.

¿Hay quizá alguna implicación más fuerte para afirmar que una función es Lipschitz o localmente lipschitziana? Como que visto así se queda un poco flojo... Aunque quizá esto ya debería ser un nuevo post (condiciones suficientes para ello).
Pues la verdad es que yo no conozco ninguna. Pero si quieres puedes abrir un nuevo hilo, hay gente por aquí que sabe mucho más análisis que yo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2022, 02:23 pm
Respuesta #8

Suiron

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Gracias, geómetracat.

De todas formas, antes de preguntar directamente echaré un rato de búsqueda y repaso, que me conviene repasar bastantes cosas con frecuencia para retomar un poco de nivel, que como se puede ver si me pasan por alto detalles básicos.