[nathan]

Hola amigos, espero que se encuentren muy bien. Estoy tratando de resolver un ejercicio del libro de Apostol, pero no logro avanzar. es el siguiente:

Demostrar que \( \displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\cos^{m}x\sin ^{m}x\ dx=\displaystyle\frac{1}{2^{m}}\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\cos^{m}x\ dx \), si   \( m \) es un entero positivo.

Bien, pienso que se debe demostrar por inducción. pero no logro tener esa forma ni para \( n=1 \). Podrían ayudarme. estuve pensando todo el día, pero no avancé la verdad.

[Abdulai]

Aplicando la identidad \( \sin(2x)=2 \sin x\cos x \)  y  aprovechando que \( \sin x = \cos(\pi/2-x) \)

\( \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^m x\sin^m x \text{d}x = \frac{1}{2^m}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^m(2x)\text{d}x = \frac{1}{2^m}\;\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^m t \;\text{d}t = \frac{1}{2^m} \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^m t \;\text{d}t = \frac{1}{2^m} \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^m t \;\text{d}t \)

[nathan]

Muchas gracias Abdulai. En verdad me diste mucha luz sobre el ejercicio. Solo hay algo que no me queda claro, en

\( \displaystyle\frac{1}{2^{m}}\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin ^{m}t\ dt \)

No alcanzo a entender como desaparece el \( \displaystyle\frac{1}{2} \). Podrías explicarme por favor. Sospecho que:

\( \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{m} x \ dx=2\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sin^{m} x \ dx \), pero quisiera que me confirmen. Pues eso no lo tengo claro. O es por otro motivo

[Abdulai]

Es por eso, dada la simetría de \( \sin x \) la integral entre \( [0,\pi/2] \)  es la misma que entre \( [\pi/2,\pi] \)

[nathan]

Muchas gracias, en verdad me ha ayudado mucho. Sobretodo por la paciencia, mil gracias