Autor Tema: Teorema 1.7 en libro de ecuaciones de evolución de Nagel y Engel.

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06 Febrero, 2022, 10:31 pm
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lindtaylor

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Hola. Estoy estudiando algunos resultados del libro "One-parameter semigroups for linear evolution equations" de los autores Nagel y Engel.
La proposición en donde estoy algo estancado es la siguiente:

Prop. 1.7. Sea \( (A,D(A)) \) el generador de un semigrupo fuertemente continuo \( (T(t))_{t\geq 0} \) sobre un espacio de Banach \( X \). Un subespacio \( D \) de \( D(A) \) que es \( \left\|\cdot\right\| \)-denso en \( X \) e invariante bajo el semigrupo\(  (T(t))_{t\geq 0} \) es siempre un core para \( A \).

Dem. Para todo \( x\in D(A) \) se puede encontrar una sucesión \( (x_n)_n\subset D \) tal que \( \lim_n x_n=x \). Debido a que para cada n, la aplicación \( s\mapsto T(s)x_n\in D \) es continua para la norma del gráfico \( \left\|\cdot\right\|_{A} \) (use (1.5)), se sigue que \( \int_{0}^{t}T(s)xn\,ds \), como integral de Riemann, pertenece a la \( \left\|\cdot\right\|_{A} \)-clausura de \( D \). Similarmente, la \( \left\|\cdot\right\|_{A} \)-continuidad de \( s\mapsto T(s)x \) para \( x\in D(A) \) implica que
\( \left\|\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x\,ds-x\right\|_{A}\to 0 \) cuando\(  t\to 0 \) y
\( \left\|\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x_n\,ds-\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x\,ds\right\|_{A}\to 0 \) cuando \( n\to \infty  \)y para cada \( t>0. \)
Esto prueba que para todo \( \epsilon>0 \) existe \( t>0  \)y \( n\in\mathbb{N} \) tal que
\( \left\|\frac{1}{t}\int_{0}^{t}T(s)x_n\,ds-x\right\|_{A}<\epsilon \).
Por lo tanto, \( x\in \overline{D}^{\left\|\cdot\right\|_{A}} \).

Pregunta 1. ¿Por qué \( s\mapsto T(s)x_n \) es continua con la norma del gráfico?
No logro entender la continuidad con dicha norma. Por lo que veo, para la continuidad con dicha norma se debería probar que  \( \lim_{s\to t}\left\|T(s)x_n-T(t)x_n\right\|_{A}=0 \) pero no estoy seguro.

Pregunta 2. ¿Por qué la integral de Riemann pertenece a la \( \left\|\cdot\right\|_{A} \)-clausura de D? ¿Es un resultado estandar?

pd: La ecuación 1.5 que se menciona es la siguiente:
Si \( x\in D(A) \) entonces \( T(t)x\in D(A) \) y además se cumple ((1.5)) \( \frac{d}{dt} T(t)x=T(t)Ax=AT(t)x,\quad t\geq 0. \)

Actualización. Ya acabo de probar que pregunta 1. La pregunta 2 me está quedando pendiente.
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