Autor Tema: Enteros Gaussianos

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21 Enero, 2022, 04:17 am
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EsneiderSierra

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¿Cómo demostrar que si \( x=a+bi  \) es primo en \( \mathbb{Z}[i] \) entonces \( a^2+b^2=2 \) o, \( a^2+b^2=p \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \equiv 1\pmod{4} \)?  Se que todo cuadrado es congruente con \( 0 \) o con \( 1 \) módulo \( 4 \) pero no entiendo como el hecho de que \( x \) sea primo en \( \mathbb{Z}[i] \) implique que la norma sea un número primo. Quedo atento a las respuestas, de antemano muchas gracias.

21 Enero, 2022, 10:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.
¿Cómo demostrar que si \( x=a+bi  \) es primo en \( \mathbb{Z}[i] \) entonces \( a^2+b^2=2 \) o, \( a^2+b^2=p \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \equiv 1\pmod{4} \)?  Se que todo cuadrado es congruente con \( 0 \) o con \( 1 \) módulo \( 4 \) pero no entiendo como el hecho de que \( x \) sea primo en \( \mathbb{Z}[i] \) implique que la norma sea un número primo. Quedo atento a las respuestas, de antemano muchas gracias.

 Ten en cuenta que si \( x\cdot \bar x=N(x) \) entonces como \( \Bbb Z[ i] \) es un domino de factorización única, si \( p \) es un divisor primo entero de \( N(x) \) entonces, hay un divisor primo de \( p \), \( \alpha\in \Bbb Z[ i] \) tal que \( \alpha \) divide a \( x \) o a su conjugado. Pero si \( x \) es primo entonces \( \alpha=x \) ó a \( \alpha=\bar x \) salvo unidad. Por tanto \( N(x)=N(\alpha) \) divide a \( N(p)=p^2 \).

Saludos.

P.D. Te falta indica en la hipótesis que \( x\not\in \Bbb Z \). Por ejemplo \( 3 \) es primo en \( \Bbb Z[i] \), pero \( N(3)=3^2 \).

21 Enero, 2022, 05:06 pm
Respuesta #2

EsneiderSierra

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Hola

 Bienvenido al foro.
¿Cómo demostrar que si \( x=a+bi  \) es primo en \( \mathbb{Z}[i] \) entonces \( a^2+b^2=2 \) o, \( a^2+b^2=p \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \equiv 1\pmod{4} \)?  Se que todo cuadrado es congruente con \( 0 \) o con \( 1 \) módulo \( 4 \) pero no entiendo como el hecho de que \( x \) sea primo en \( \mathbb{Z}[i] \) implique que la norma sea un número primo. Quedo atento a las respuestas, de antemano muchas gracias.

 Ten en cuenta que si \( x\cdot \bar x=N(x) \) entonces como \( \Bbb Z[ i] \) es un domino de factorización única, si \( p \) es un divisor primo entero de \( N(x) \) entonces, hay un divisor primo de \( p \), \( \alpha\in \Bbb Z[ i] \) tal que \( \alpha \) divide a \( x \) o a su conjugado. Pero si \( x \) es primo entonces \( \alpha=x \) ó a \( \alpha=\bar x \) salvo unidad. Por tanto \( N(x)=N(\alpha) \) divide a \( N(p)=p^2 \).

Saludos.

P.D. Te falta indica en la hipótesis que \( x\not\in \Bbb Z \). Por ejemplo \( 3 \) es primo en \( \Bbb Z[i] \), pero \( N(3)=3^2 \).
Muchas gracias Luis Fuentes. Dejo el enunciado y la demostración para futuras busquedas.
Proposición: Sean \( x=a+bi  \) con \( b \neq 0 \), primo en \( \mathbb{Z}[i] \) entonces \( a^2+b^2=2 \) o \( a^2+b^2=p \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \equiv 1\pmod{4} \).
Demostración: Se tiene que \( x \cdot \overline{x}=N(x)=a^2+b^2 \), y ya que \( \mathbb{Z}[i] \) y \( \mathbb{Z} \) son Dominios de Factorización Única, existe \( p  \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \mid N(x)=x \cdot \overline{x}  \), luego existe un primo \( \alpha \in \mathbb{Z}[i] \) tal que \( \alpha \mid p \) en \( \mathbb{Z}[i] \) por tanto, como \( x=a+bi \) es primo en \( \mathbb{Z}[i] \), con lo cual \( \alpha = x \) o \( \alpha = \overline{x} \). De manera que \( N(\alpha)=N(x)=a^2+b^2 \) divide a \( N(p)=p^2 \) y como \( p \) es primo en \( \mathbb{Z} \), entonces que \( a^2+b^2=p \). Además, se tiene que \( n^2 \equiv 0, 1\pmod{4} \) para todo \( n \in \mathbb{Z} \), luego \( a=b=1 \) y por tanto \( a^2+b^2=2 \) (Caso en que \( a^2+b^2 \equiv 0, 2\pmod{4} \)) o \( a^2+b^2=p \) con \( p \equiv 1\pmod{4} \).
Si existe alguna errata, por favor avisar.

23 Enero, 2022, 10:49 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias Luis Fuentes. Dejo el enunciado y la demostración para futuras busquedas.
Proposición: Sean \( x=a+bi  \) con \( b \neq 0 \), primo en \( \mathbb{Z}[i] \) entonces \( a^2+b^2=2 \) o \( a^2+b^2=p \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \equiv 1\pmod{4} \).
Demostración: Se tiene que \( x \cdot \overline{x}=N(x)=a^2+b^2 \), y ya que \( \mathbb{Z}[i] \) y \( \mathbb{Z} \) son Dominios de Factorización Única, existe \( p  \) primo en \( \mathbb{Z} \) tal que \( p \mid N(x)=x \cdot \overline{x}  \), luego existe un primo \( \alpha \in \mathbb{Z}[i] \) tal que \( \alpha \mid p \) en \( \mathbb{Z}[i] \) por tanto, como \( x=a+bi \) es primo en \( \mathbb{Z}[i] \), con lo cual \( \alpha = x \) o \( \alpha = \overline{x} \). De manera que \( N(\alpha)=N(x)=a^2+b^2 \) divide a \( N(p)=p^2 \) y como \( p \) es primo en \( \mathbb{Z} \), entonces que \( a^2+b^2=p \). Además, se tiene que \( n^2 \equiv 0, 1\pmod{4} \) para todo \( n \in \mathbb{Z} \), luego \( a=b=1 \) y por tanto \( a^2+b^2=2 \) (Caso en que \( a^2+b^2 \equiv 0, 2\pmod{4} \)) o \( a^2+b^2=p \) con \( p \equiv 1\pmod{4} \).
Si existe alguna errata, por favor avisar.

En lo que he marcado en rojo, ¿y por qué no \( a^2+b^2=p^2 \).

Saludos.