Autor Tema: ¿De dónde viene esta igualdad?

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30 Diciembre, 2021, 10:35 am
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URama

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Hola tengo una duda.... No se si me estoy volviendo loco pero alguien me puede decir de donde viene la igualdad siguiente?

\( \displaystyle\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)}=\displaystyle\frac{(1+x+x^2+x^3)(1+x^2)}{(1-x^4)^3} \)

Lo pongo en Discreta porque el ejercicio es de esta asignatura, me pedia encontrar las soluciones enteras de una ecuación.

Muchas gracias.

30 Diciembre, 2021, 11:00 am
Respuesta #1

geómetracat

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Primero multiplica numerador y denominador por \[ (1-x^4)^2 \] para obtener:
\( \displaystyle\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)}=\displaystyle\frac{(1-x^4)^2}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)^3} \).
Ahora, fíjate en que \[ 1-x^4=(1-x^2)(1+x^2)=(1-x)(1+x)(1+x^2) \]. De manera que puedes escribir el numerador como \[ (1-x^4)^2=(1-x^4)(1-x^4)=(1-x^2)(1+x^2)(1-x)(1+x)(1+x^2) \]. De ahí, los factores \[ (1-x) \] y \[ (1-x^2) \] se cancelan con los del denominador y en el numerador te acaba quedando \[ (1+x^2)(1+x)(1+x^2)=(1+x^2)(1+x+x^2+x^3) \], como querías.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)