Autor Tema: $$[0,1]^S$$ es compacto

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14 Diciembre, 2021, 09:09 am
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Zaragoza

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Sea $$[0,1]^S:=\{f:S\to [0,1]\}$$ donde $$S$$ es un conjunto no vacío. He leido que $$[0,1]^S$$ es compacto y mencionan el teorema de Tychonoff. Alguien podía darme más luz sobre este hecho? Me gustaría conocer más los detalles Gracias

14 Diciembre, 2021, 09:55 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea $$[0,1]^S:=\{f:S\to [0,1]\}$$ donde $$S$$ es un conjunto no vacío. He leido que $$[0,1]^S$$ es compacto y mencionan el teorema de Tychonoff. Alguien podía darme más luz sobre este hecho? Me gustaría conocer más los detalles Gracias

Pues simplemente el Teorema de Tychonoff afirma que el producto de espacios topológícos compactos es compacto (respecto de la topología producto). Nota que $$[0,1]^S:=\{f:S\to [0,1]\}$$ es el producto de \( card(S) \) copias de \( [0,1] \).

Buscando en internet por "Tyconoff Theorem" puedes ver diferentes demostraciones del mismo. Por ejemplo aquí:

http://matheron.perso.math.cnrs.fr/recherche_fichiers/Tychonoff.pdf

Si tienes alguna duda al respecto, pregunta.

Saludos.

14 Diciembre, 2021, 07:56 pm
Respuesta #2

Zaragoza

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Tienes mucha razón muchas gracias. El documento fue bastante exclarecedor.  :aplauso: