Autor Tema: $$\{\sum_{k=1}^n a_ke^{kx}:a_k\in\mathbb R, n\in\mathbb N\}$$ es denso

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14 Diciembre, 2021, 06:20 am
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Zaragoza

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Sea $$A$$ el subconjunto de $$C[a,b]=\{f:[a,b]\to \mathbb R: f\text{ es continua}\}$$ formado por todas las funciones de la forma

$$h(x)=\sum_{k=1}^n a_ke^{kx},\quad n\in\{1,2,3,\dots\},\;a_k\in\mathbb R,\;\forall k$$

Quiero probar que $$A$$ es denso en $$C[a,b]$$ respecto a la norma $$\|f\|=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|.$$

Intenté usar el teorema de Stone Weierstrass, ya que $$A$$ es un álgebra que separa puntos, pero lamentablemente no contiene constantes no nulas. Así que me es imposible usar ese teorema. Traté de hacer de manera directa la densidad pero no he tenido éxito alguno.

14 Diciembre, 2021, 10:36 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea $$A$$ el subconjunto de $$C[a,b]=\{f:[a,b]\to \mathbb R: f\text{ es continua}\}$$ formado por todas las funciones de la forma

$$h(x)=\sum_{k=1}^n a_ke^{kx},\quad n\in\{1,2,3,\dots\},\;a_k\in\mathbb R,\;\forall k$$

Quiero probar que $$A$$ es denso en $$C[a,b]$$ respecto a la norma $$\|f\|=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|.$$

Intenté usar el teorema de Stone Weierstrass, ya que $$A$$ es un álgebra que separa puntos, pero lamentablemente no contiene constantes no nulas. Así que me es imposible usar ese teorema. Traté de hacer de manera directa la densidad pero no he tenido éxito alguno.

Si consideras el conjunto de funciones:

$$h(x)=\sum_{\color{red}k=0\color{black}}^n a_ke^{kx},\quad n\in\{\color{red}0\color{black},1,2,3,\dots\},\;a_k\in\mathbb R,\;\forall k$$

entonces si podrías aplicar el teorema y sería denso. Ahora dada una función continua en \( f(x) \) en \( [a,b] \) entonces \( f(x)e^{-x} \) también es continua y la puedes aproximar por una función \( h(x) \):

\( \|f(x)e^{-x}-h(x)\|<\epsilon \)

Pero:

\( \|f(x)-h(x)e^x\|\leq \|e^{x}\|\|\|f(x)e^{-x}-h(x)\|\leq \|e^x\|\epsilon \)

luego puedes aproximar \( f(x) \) por una función \( h(x)e^x\in A. \)

Saludos.

14 Diciembre, 2021, 07:59 pm
Respuesta #2

Zaragoza

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Vi ese truco un par de veces, lo había olvidado por completo. Muchas gracias  :aplauso: