Autor Tema: $$C(K)^*$$ no es separable

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Diciembre, 2021, 06:11 am
Leído 372 veces

Zaragoza

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 118
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Tengo complicaciones para resolver el siguiente ejercicio

Sea un espacio métric compacto $$K$$, consideremos el espacio de Banach

$$C(K)=\{f_K\to \mathbb R: f\text{ es continua}\},\quad \|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|.$$
  • Calcular la norma $$\|G_x\|_*$$ de la aplicación $$G_x(f)=f(x)$$, con $$x\in K$$ y $$f\in C(K)$$
  • Calcule la distancia $$\|G_x-G_y\|_*$$ para cualesquiera par de puntos $$x,y\in K$$
Y finalmente si $$K$$ no es numerable entonces:
1. $$C(K)^*$$ no es separable.
2. $$C(K)^{**}$$ no es separable.
3. $$C(K)$$ no es reflexivo.

Cualquier tipo de ayuda será bienvenida. Gracias  :banghead: :banghead: :banghead:

14 Diciembre, 2021, 10:33 am
Respuesta #1

lindeloff

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 126
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
  • tiempo=infinito y nuestro tiempo de vida=finito
hola, a ver si esto ayuda  me parece que para 1.

\( \left\|{G_{x}}\right\|_{*}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|{G_{x}(f)}|}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|{f(x)}|}\leq 1 \)

luego tomaría \( f_{1} \) tal que \( f_{1}(x)=1 \) es constante 1.
de ese modo se obtiene \( \left\|{G_{x}}\right\|_{*}\geq{1} \)

para la otra parte sería similar
\( \left\|{G_{x}-G_{y}}\right\|_{*}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|({G_{x}-G_{y})(f)}|}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|{f(x)-f(y)}|}
      \leq   \sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{({|f(x)|+|f(y)|})} \leq   2 \)



con eso si \( K \)  no es numerable \( C(K)^{*} \) no es separable pues tiene una cantidad de puntos no numerable que distan 2, luego \( C(K)^{**} \) tampoco es separable porque un espacio normado es separable si y solo si su dual lo es.

Si fuera reflexivo \( C{(K)} \)  y \( C{(K)}^{**} \)  serían isomorfos


15 Diciembre, 2021, 02:36 am
Respuesta #2

Zaragoza

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 118
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias entendí hasta $$\|G_x-G_y\|_*\leq 2$$, pero la otra desigualdad no me queda muy claro dado que se supone que ambas deben ser evaluadas en la misma función continua, es decir se debe conseguir una función continua $$g$$ tal que $$g(x)-g(y)=2$$ para $$x,y\in K$$. Lo que pensé es en conseguir una función continua $$f_0$$ tal que $$f_0(x)=1$$ y $$f_0(y)=-1$$, esto sería sencillo si tuviera un conjunto convexo tomando $$f_0(\tau)=\frac{2\tau -x-y}{x-y}$$, pero en este caso no sé como hacerle. O quizá estoy mal.

15 Diciembre, 2021, 02:51 am
Respuesta #3

lindeloff

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 126
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
  • tiempo=infinito y nuestro tiempo de vida=finito
tienes razón lo que dices es la misma, me confundí, si si sería convexo podrías hacer lo que dices

o si \( K \) tuviera interior no vacío, podrías hacer combinación de 2 funciones características, restarlas, es decir ambas que valgan \( 1 \) en \( x \) y \( 1 \) en \( y \).

pero todo espacio métrico compacto es completo, y si es completo \( \overline{K}=K \) y al ser denso tiene intersección no vacía con  todos los abiertos de la topología relativa, quizá eso se pueda usar

15 Diciembre, 2021, 11:49 am
Respuesta #4

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,582
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Gracias entendí hasta $$\|G_x-G_y\|_*\leq 2$$, pero la otra desigualdad no me queda muy claro dado que se supone que ambas deben ser evaluadas en la misma función continua, es decir se debe conseguir una función continua $$g$$ tal que $$g(x)-g(y)=2$$ para $$x,y\in K$$. Lo que pensé es en conseguir una función continua $$f_0$$ tal que $$f_0(x)=1$$ y $$f_0(y)=-1$$, esto sería sencillo si tuviera un conjunto convexo tomando $$f_0(\tau)=\frac{2\tau -x-y}{x-y}$$, pero en este caso no sé como hacerle. O quizá estoy mal.

Es suficiente con tener una función continua que tome dos valores distintos, a partir de esa función puedes construir la función que quieres, por ejemplo, si existen \( x,y\in K \) tales que \( g(x)-g(y)=c_1>0 \) y \( g(x)=c_2 \) entonces la función \( \tilde g:=\max\{\min\{\tfrac{2}{c_1}g-c_2+1,1\},-1\} \) te sirve.

15 Diciembre, 2021, 06:39 pm
Respuesta #5

Zaragoza

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 118
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias fue ingeniosa la respuesta  :aplauso: :aplauso:

Yo intenté lo siguiente (tal vez haya error no lo sé) Usando el lema de Urysohn tenemos que existe una función continua $$f_0:K\to [-1,1]\subset\mathbb R$$ tal que $$f_0(x)=1$$ y $$f_0(y)=-1$$. Luego como $$|f(u)|\leq 1$$ para todo $$u\in K$$, entonces $$\|f_0\|=1$$. Por tanto

$$\left\|{G_{x}-G_{y}}\right\|_{*}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|({G_{x}-G_{y})(f)}|}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|{f(x)-f(y)}|} \geq |f_0(x)-f_0(y)|=2.$$

15 Diciembre, 2021, 06:53 pm
Respuesta #6

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,582
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Gracias fue ingeniosa la respuesta  :aplauso: :aplauso:

Yo intenté lo siguiente (tal vez haya error no lo sé) Usando el lema de Urysohn tenemos que existe una función continua $$f_0:K\to [-1,1]\subset\mathbb R$$ tal que $$f_0(x)=1$$ y $$f_0(y)=-1$$. Luego como $$|f(u)|\leq 1$$ para todo $$u\in K$$, entonces $$\|f_0\|=1$$. Por tanto

$$\left\|{G_{x}-G_{y}}\right\|_{*}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|({G_{x}-G_{y})(f)}|}=\sup_{ \left\|{f}\right\| \leq{ 1} }{|{f(x)-f(y)}|} \geq |f_0(x)-f_0(y)|=2.$$

Está bien, aunque hay que suponer que \( K \) tiene al menos dos puntos.

15 Diciembre, 2021, 07:03 pm
Respuesta #7

Zaragoza

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 118
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si claro, pero en el caso donde $$K$$ consta de un solo punto o ninguno, la pregunta se hace trivial. Creo que eso podría concluir la pregunta. Muchas gracias