Autor Tema: Verdadero o falso (demostración) con minimales y cotas inferiores en un POSET.

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26 Noviembre, 2021, 06:12 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Se considera la afirmación siguiente:
Sea \( (A, \mathcal{R}) \) una relación de orden parcial, y sea \( \emptyset \neq B \subseteq A \). Entonces:

\(  a \in A \) es cota inferior de B \( \Longleftrightarrow \) si \( a\mathcal{R}m \), para todo \( m \in B \), elemento minimal de B.

i) La afirmación del directo es verdadera. Probar o dar un contraejemplo.
ii) La afirmación del recíproco es verdadera. Probar o dar un contraejemplo.

Realice lo siguiente:
El directo es claramente verdadero por la definición de cota inferior, si a es cota inferior \( a\mathcal{R}b \) para todo \( b\in B \) , en particular para sus elementos minimales.

Creo que el reciproco es verdadero por lo siguiente:
Los minimales serán los puntos del diagrama de Hasse que quedan "colgando" por debajo (no tienen a nadie  por debajo). Luego si agregamos el punto a conectado a todos estos, por transitividad me parece claro que a será una cota inferior.
Pero no logro dar con una demostración.

¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

26 Noviembre, 2021, 06:15 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Creo que el reciproco es verdadero por lo siguiente:
Los minimales serán los puntos del diagrama de Hasse que quedan "colgando" por debajo (no tienen a nadie  por debajo). Luego si agregamos el punto a conectado a todos estos, por transitividad me parece claro que a será una cota inferior.
Pero no logro dar con una demostración.

Ojo. ¿Qué ocurriría si \( B \) no tiene elementos minimales?.

Spoiler
En ese caso cualquier elemento \( a\in A \) cumpliría la afirmación de la derecha.
[cerrar]

Saludos.

26 Noviembre, 2021, 06:18 pm
Respuesta #2

franma

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Buenas Luis,

Puedo imaginarme un diagrama de Hasse de una relación sin maximales, pero sin minimales no logro dar con ninguno.
Se me debe estar pasando algo :banghead:.

Un saludo,
Franco.
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26 Noviembre, 2021, 06:29 pm
Respuesta #3

franma

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Creo que he logrado "formalizar" mi idea de la transitividad.

Sea \( b \in B \) queremos ver que \( a\mathcal{R}b \)

Si \( b \) es minimal, hemos terminado.
Si \( b \) no es minimal entonces existe \( b_1\neq b \) tal que \( b_1\mathcal{R}b \)
Si \( b_1 \) es minimal, hemos terminado.
Si \( b_1 \) no es minimal entonces existe \( b_2 \neq b_1  \) tal que \( b_2\mathcal{R}b_1 \)
Podemos continuar así hasta que encontremos \( b_i \neq b_{i-1} \) tal que \( b_i \) sea minimal.

Luego por transitividad tenemos que como \( a\mathcal{R}b_i \) ... luego ...  \( a\mathcal{R}b \)

¿Faltaría justificar un poco mas por que puedo terminar en un numero finito de pasos?

Un saludo,
Franco.
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26 Noviembre, 2021, 06:55 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Es que estás suponiendo en todo momento que trabajas con un conjunto \( A \) finito; y no veo porqué.

 Piensa por ejemplo en \( A=\Bbb R \) con el orden usual y \( B=\Bbb Z \).

 ¿Tiene \( B \) elementos minimales?.

Saludos.

26 Noviembre, 2021, 07:00 pm
Respuesta #5

franma

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Buenas Luis,

Es verdad que sin querer trabaje bajo el supuesto de A finito, si este fuera el caso, ¿Es la demostración correcta?

Si no fuese finito, ese conjunto que tu propones no tiene minimales, luego cualquier real seria "menor" que los minimales pero claramente no son cota inferior, luego seria falso.

Un saludo,
Franco.
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26 Noviembre, 2021, 07:07 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Es verdad que sin querer trabaje bajo el supuesto de A finito, si este fuera el caso, ¿Es la demostración correcta?

Si. Y es el hecho de la finitud de \( A \) (y por tanto de cualquier subconjunto \( B \)), lo que justifica que tu razonamiento termina en un número finito de pasos.

Citar
Si no fuese finito, ese conjunto que tu propones no tiene minimales, luego cualquier real seria "menor" que los minimales pero claramente no son cota inferior, luego seria falso.

Correcto.

Saludos.

26 Noviembre, 2021, 07:09 pm
Respuesta #7

franma

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Perfecto Luis!

Ha quedado todo mucho mas claro. Muchas gracias.

Saludos,
Franco.
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