Autor Tema: Solución débil para la ecuación de Laplace.

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15 Noviembre, 2021, 05:01 am
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lindtaylor

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Muy buenas. Estoy tratando de entender a cabalidad el concepto de solución débil para la ecuación de Laplace. He visto que se afirma lo siguiente en un libro.
En el contexto de \( \mathbb{R}^n \).
\( u\in L^2 \) es una solución débil para la ecuación de Laplace si y sólo si \( u\in W^{1,2} \) y \( (u,\Delta\varphi)=0 \) para todo \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \) (es decir, \( u \) es una solución distribucional para la ecuación de Laplace). (tal afirmación aparece en el libro  Problems on partial differential equations de los autores Maciej Borodzik, Paweł Goldstein, Piotr Rybka, Anna Zatorska-Goldstein.

Tengo una dirección:

Sea \( u\in W^{1,2} \) y  \( (u,\Delta\varphi)=0,\quad \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \). Usaremos el hecho que el operador \( \Delta \) es autoadjunto sobre \( W^{1,2} \), es decir, \( \Delta=\Delta^{*} \) sobre \( W^{1,2} \) y también que, para \( v \in D(\Delta^{*}) \), existe \( \left\{\varphi_k\right\}_{k}\subset\mathcal{C}_{0}^{\infty}: \varphi_k\to v \) en \( L^2. \) Entonces
\( \begin{align}
|(u,\Delta^{*}v)|&\leq |(u,\Delta^{*}v)-(u,\Delta\varphi_k)|+|(u,\Delta\varphi_k)|\\
&=|(\Delta u,v)-(\Delta^* u, \varphi_k)|\\
&=|(\Delta u,v)-(\Delta u,\varphi_k)|\\
&=|(\Delta u,v-\varphi_k)|\\
&\leq \left\|\Delta u\right\|_{2}\left\|v-\varphi_k\right\|_{2}\\
&\to 0
\end{align} \)
(acá se puede ver que se necesita que \( \Delta u\in L^2 \) y el hecho que \( u\in W^{1,2} \) permite asegurar esto)
Por lo tanto, \( (u,\Delta^{*}v)=0 \) para todo \( v\in D(\Delta^*). \) Por definición, $u$ es una solución débil.

Inversamente no sé probarlo. Sé que si \( u \) es solución débil entonces \( (u,\Delta^*v)=(0,v)=0 \) para todo \( v\in D(\Delta^*) \), pero, no sé como probar que \( u\in W^{1,2} \) ni tampoco la otra condición. (Es decir, probar que \( \Delta u\in L^2 \) y que también \( (u,\Delta\varphi)=0 \) para todo \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty}). \) ¿Cómo probar esta dirección?

Actualización. Ya he probado que \( (u,\Delta\varphi)=0 \) para todo \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \). En efecto, como \( \varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty} \) entonces \( \Delta\varphi\in L^2 \). Luego, \( (\varphi,\Delta u)=(\Delta^{*}\varphi,u) \) para todo \( u\in D(\Delta) \). Esto es equivalente a decir que \( \varphi\in D(\Delta^{*}) \). Además \( \Delta \varphi \in L^2 \), es decir, por definición, \( u\in W^{1,2} \), luego, \( \Delta\varphi=\Delta^{*}\varphi \) pues\(  \Delta \) es autoadjunto sobre \( W^{1,2} \). Por lo tanto,  \( (u,\Delta\varphi)=(u,\Delta^{*}\varphi)=0 \). Con esto obtengo la condición que u es una solución distribucional para la ecuación de Laplace.

Pero aún no logro ver: ¿Por qué \( u\in W^{1,2} \)?
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