Autor Tema: Solución débil en espacios de Banach.

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17 Noviembre, 2021, 07:51 pm
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lindtaylor

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Sea \( X \) e \( Y \) espacios de Banach, \( A:D(A)\subset X\to Y \) operador lineal con \( D(A) \) denso en \( X \) e \( y\in Y \). Sea \( x\in X \) una solución débil de  \( Ax=y \), es decir, \( (x,A^*y')=(y,y') \) para todo \( y'\in Y^*  \)donde \( A^*:D(A^*)\subset Y^*\to X^* \) es la adjunta de \( A \). El dominio es \( D(A^*)=\left\{y'\in Y^*:\exists x'\in X^*: y'(Ax)=x'(x)\forall x\in D(A)\right\} \)

Mi pregunta es: ¿si \( x\in D(A) \) entonces \( Ax=y? \)

Mi intento: \( x\in X \) solución débil entonces \( (x,A^*y')=(y,y') \) para todo \( y'\in Y^*. \)
La adjunta de  \( A^* \) implica que \( (x,A^*y')=(Ax,y') \) para todo \( x\in D(A),\, y'\in D(A^*). \)
Por lo tanto, \( (Ax,y')=(y,y') \) para todo \( x\in D(A),\, y'\in D(A^*) \). Equivalentemente, \( y'(Ax-y)=0 \) para todo \( x\in D(A),\, y'\in D(A^*). \) Desde aquí, ¿se puede concluir que \( Ax=y \)?


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