Autor Tema: Existencia de sucesión de Gulomb

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07 Noviembre, 2021, 12:48 pm
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Eparoh

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Hola a todos, la sucesión de Gulomb se describe como una sucesión no decreciente de enteros positivos \( G(n) \) tal que \( G(1)=1 \) y \( G(n) \) es exactamente el número de veces que \( n \) aparece en la sucesión, es decir,

\( G(n)=\left |{\{k \in \mathbb{N}: G(k)=n\}}\right | \)

Entiendo la definición de la sucesión y como a partir de \( G(1) \) podemos obtener tantos términos como queramos.

Suponiendo que tal sucesión existe, como \( G(1)=1 \) y \( G \) es no decreciente, será \( G(n) \geq 1 \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) y por tanto, de la definición de \( G(n) \) obtenemos que todo número natural debe aparecer al menos una vez en la sucesión. Además, por ser \( G \) no decreciente estos deben aparecer claramente en orden creciente. Con esto, para cada natural se tiene que \( G(n+1) = G(n) \) o \( G(n+1) = G(n) +1 \).

Así, al ser \( G(1) = 1 \) tenemos que \( G(2) \) no puede ser uno, luego tiene que ser igual a \( 2 \). Tras esto, añadimos tantos \( 2 \) como indica \( G(2) \), es decir, añadimos uno más y el siguiente número deberá ser un 3. Tras esto añadimos \( G(3)-1 \) treses más, etc.

Incluso, partiendo nuevamente de que \( G \) existe, se como demostrar que debe cumplir la recurrencia

\( G(n+1) = 1+ G(n+1 - G(G(n))) \)

para todo \( n \geq 1 \), pero mi duda es:

¿Cómo podríamos demostrar de forma rigurosa que existe tal sucesión y es única?

Es decir, todos las propiedades que he enunciado y la recurrencia obtenida parten de la base de que existe una sucesión que cumple la definición pero, ¿cómo podemos garantizar que tal sucesión existe en primer lugar?

He intentado establecer otras recurrencias "más brutas" o utilizar la dada, que bajo el teorema de recursión serían únicas, y probar que satisfacen lo deseado pero no he sido capaz.

¿Alguna idea de como probarlo?

Un saludo y muchas gracias por su tiempo.

07 Noviembre, 2021, 02:34 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Pero no sé si entiendo el fondo de tu duda. Me parece que no es más que cuando uno define una sucesión recursivamente efectivamente ésta queda inequívocamente determinada.
 
 Es decir tu problema no es más que justificar porque dada una sucesión de funciones \( f_n \) las relaciones:

\(  a_1=1 \)
\(  a_{n+1}=f_n(a_1,a_2,\ldots,a_{n}) \)

 definen inequívocamente la sucesión \( \{a_n\} \). ¿Es eso?.

Saludos.

07 Noviembre, 2021, 03:39 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Hola Luis, parece que me expliqué mal.

Lo que comentas lo conozco, son variantes del teorema de recursión para los números naturales.

Lo que yo quería decir es que, partiendo de que existe una sucesión \( G \) que cumple:

1. Todos sus elementos son enteros positivos
2. \( G \) es no decreciente
3. \( G(1) = 1 \)
4. \( G(n) \) es el número de veces que \( n \) aparece en la sucesión \( G \)

Soy capaz de demostrar que satisface la definición recurrente dada por

\( G(n+1) = 1+ G(n+1 -G(G(n))) \)

siendo \( G(1) = 1 \).

Ahora bien, lo que yo buscaba es una demostración de que efectivamente existe una sucesión \( G \) que satisface estos cuatro puntos, porque de forma intuitiva lo veo claro pues conforme vas escribiendo términos de la sucesión quedan unívocamente determinados por los anteriores y las 4 propiedades, pero no se demostrarlo formalmente.

Entonces, una forma de demostrar la existencia de una sucesión que cumpla los 4 puntos, sería partir de una sucesión de la que conozcas su existencia (por ejemplo, soy capaz de demostrar la existencia de la sucesión recurrente anterior a partir del teorema de recurrencia) y demostrar que dicha sucesión satisface los 4 puntos descritos.

Para la unicidad, una vez se tiene esto, como ya se que si se cumplen los 4 puntos, entonces se cumple la recurrencia que he dado, la unicidad es clara.

En resumen, me gustaría probar de alguna forma que efectivamente existe una sucesión que satisface los 4 puntos dados, y la forma que se me ha ocurrido es la que he dicho anteriormente, pero no soy capaz de probar todos esos puntos para la recurrencia dada.

Un saludo.

07 Noviembre, 2021, 06:57 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Estoy con Luis en que no acabo de ver exactamente qué problema tienes. Define \[ f_n(a_1,\dots,a_n) \] como \[ a_n \] si \[ a_n\leq n \] y \[ a_n \]aparece menos de \[ a_{a_n} \] veces en \[ a_1,a_2,\dots,a_n \], y como \[ a_n+1 \] en caso contrario.

Entonces la recursión:
\[ a_1=1 \]
\[ a_{n+1}=f_n(a_1,\dots, a_n) \]
define una sucesión de manera única, y esta es \[ G(n) \].

A partir de esta definición debería ser fácil demostrar que cumple las 4 propiedades.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Noviembre, 2021, 09:36 pm
Respuesta #4

Eparoh

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Hola geómetracat,

Estoy con Luis en que no acabo de ver exactamente qué problema tienes. Define \[ f_n(a_1,\dots,a_n) \] como \[ a_n \] si \[ a_n\leq n \] y \[ a_n \]aparece menos de \[ a_{a_n} \] veces en \[ a_1,a_2,\dots,a_n \], y como \[ a_n+1 \] en caso contrario.

Entonces la recursión:
\[ a_1=1 \]
\[ a_{n+1}=f_n(a_1,\dots, a_n) \]
define una sucesión de manera única, y esta es \[ G(n) \].

A partir de esta definición debería ser fácil demostrar que cumple las 4 propiedades.

Mi problema era que con el tipo de recursión que propones, por un fallo muy tonto que he tenido, no conseguía demostrar que satisface la última propiedad  ::)

Pero ya está todo resuelto, gracias por los comentarios como siempre  ;D

Un saludo.