Autor Tema: Describir el conjunto cociente.

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03 Noviembre, 2021, 05:37 pm
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franma

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Buenas,

Debo describir el conjunto cociente \( A/\mathcal{R} \) de la siguiente relación:
\( A=\mathbb{R}^2 \) y \( v\mathcal{R}w \) si existe \( a \in \mathbb{R} \) no nulo tal que \( w=av \)

Comencé calculando algunas clases de equivalencia:
\( [(0,0)]=\{x\in\mathbb{R}^2 : x\mathcal{R}(0,0)\}=\{(0,0)\} \)

Luego se me ocurrió que bastaría con tener las clases de equivalencia de todos los vectores en un radio de 180º y con eso ya conseguiría todos.
Ya que cualquier vector de \( \mathbb{R}^2 \) será múltiplo de alguno de esos.

\( A/\mathcal{R}=\{[(0,0)],[(\cos(x),\sin(x)) : x\in[0,\pi)]\} \)

¿Esta correcta la idea?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

03 Noviembre, 2021, 05:58 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.


\( A/\mathcal{R}=\{[(0,0)],[(\cos(x),\sin(x)) : x\in[0,\pi)\color {red} ]\color{black} \} \)

Diría que hay un corchete que no está bien cerrado. Mira a ver si algo así te va bien.

\[ \{[(\cos x, \sin x)] :x\in{[0,\pi)}\}\cup{\{[(0,0)]\}}  \]

Un saludo.

03 Noviembre, 2021, 06:20 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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  De forma pedante se puede decir que \( A/\mathcal{R}=\mathbb{P}_1(\mathbb{R})\cup \left\{{(0,0)}\right\} \) siendo \( \mathbb{P}_1(\mathbb{R}) \) el espacio proyectivo de dimensión \( 1 \) sobre \( \mathbb{R} \).

03 Noviembre, 2021, 07:22 pm
Respuesta #3

franma

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Buenas martiniano, Fernando,

Diría que hay un corchete que no está bien cerrado. Mira a ver si algo así te va bien.

\[ \{[(\cos x, \sin x)] :x\in{[0,\pi)}\}\cup{\{[(0,0)]\}}  \]

Un saludo.

Exactamente algo así quería expresar pero no encontraba manera :aplauso:.

  De forma pedante se puede decir que \( A/\mathcal{R}=\mathbb{P}_1(\mathbb{R})\cup \left\{{(0,0)}\right\} \) siendo \( \mathbb{P}_1(\mathbb{R}) \) el espacio proyectivo de dimensión \( 1 \) sobre \( \mathbb{R} \).

No sabia que era una relación conocida, gracias por la información.

Muchas gracias a ambos.

Saludos,
Franco.
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