Autor Tema: La adjunta solo tiene sentido para operadores densamente definidos.

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03 Noviembre, 2021, 07:15 am
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lindtaylor

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Hola. Estoy tratando de entender porque es necesario que un operador sea densamente definido para que su adjunta tenga sentido. Tengo entendido que es para que la adjunta esté definida de manera única.

Tengo lo siguiente:

Sean \( X,\, Y  \) espacios de Banach y \( A:D(A)\subset X\to Y \) un operador lineal. Tengo entendido que la adjunta es un operador \( A^*:D(A^*)\subset Y^*\to X^* \) que cumple \( (A^*u,v)=(u,Av) \) para todo \( v\in D(A). \)

Si existiera otra adjunta, digamos \( B^*:D(B^*)\subset Y^*\to X^* \) tal que \( (B^*u,v)=(u,Av) \) para todo \( v\in D(A) \) entonces \( (A^*u-B^*u,v)=0 \) para todo \( v\in D(A). \)

Si \( D(A) \) es denso en \( X \), entonces \( (A^*u-B^*u,v)=0 \) para todo \( v\in X \). Luego, \( A^*u-B^*u\perp X \). Pero, \( A^*u,\, B^*u\in X^* \) (son funcionales lineales continuos sobre \( X \)). Entonces lo anterior es equivalente a demostrar que, si un funcional \( f\in X^* \) cumple que \( (f,x)=0 \) para todo \( x\in X  \). Esto es equivalente  a decir que \( f(x)=0 \) para todo \( x\in X \).  Entonces \( f=0 \). (en otras palabras, la única función continua que lleva el espacio \( X \) al \( 0 \) es la función nula).
¿Por qué esto es cierto? no logro convencerme.
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