Autor Tema: Definición de solución débil en un contexto abstracto.

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02 Noviembre, 2021, 09:24 am
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lindtaylor

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Hola. Me encuentro estudiando el concepto de solución débil pero no logro entenderlo del todo. Estoy tratando de ver su definición en un contexto abstracto y he encontrado la siguiente definición en
 https://core.ac.uk/download/pdf/82101335.pdf cuya definición de solución débil es la siguiente:

Definición. Sea \( L \) operador lineal en \( X \), \( y\in X \).El elemento \( x \) se denomina  solución débil de la ecuación
\begin{align}
    Lx=y
\end{align}
si existe \( \left\{x_k\right\}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \), \( Lx_k\to y \) en \( X \).

En general, si \( L:D(L)\subset X\to Y \) ¿la definición de solución débil es la siguiente?

Definición 1. Sea \( L:D(L)\subset X\to Y \) operador lineal. Sea \( y\in Y \). El elemento \( x \) se denomina solución débil de la ecuación \begin{align}
    Lx=y
\end{align}
si existe \( \left\{x_k\right\}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \), \( Lx_k\to y \) en \( Y \).

Otra definición de solución débil es la siguiente:

Definición 2. Sea \( L:D(L)\subset X\to Y \) operador lineal. Sea \( y\in Y \). el elemento \( x \) se denomina solución débil de la ecuación
\( Lx=y \)
si
\( (x,L^*z)=(y,z),\quad z\in D(L^*) \)

Pregunta. ¿Las definiciones 1 y 2 son equivalentes?

 He probado que la definición 1 implica la definición 2 con una desigualdad análoga a la de Holder en la siguiente proposición.

Proposición. La definición 1 es equivalente a la definición 2.

Dem. Sea \( \left\{x_k\right\}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \), \( Lx_k\to y \) en \( Y \). Entonces, para cualquier \( z\in D(L^*) \) (Recordemos que \( L^*:D(L^*)\subset Y^*\to X^* \)),
 \begin{align}
|(x,L^*z)-(y,z)|&=|(x,L^*z)-(x_k,L^*z)+(x_k,L^*z)-(y,z)|\\
&\leq |(x,L^*z)-(x_k,L^*z)|+|(x_k,L^*z)-(y,z)|\\
&=|(x,L^*z)-(x_k,L^*z)|+|(L x_k,z)-(y,z)|\\
&=|(x-x_k,L^*z)|+|(L x_k-y,z)|\\
&\leq \left\|x-x_k\right\|_{X} \left\|L^*z\right\|_{X^*}+\left\|L x_k-y\right\|_{Y} \left\| z\right\|_{Y^*}\\
&\to 0.
 \end{align}
(la última desigualdad no sé si es cierta... la estimación es análoga a la Desigualdad de Holder con espacios abstractos \( X,\, Y \))

Por lo tanto, \( (x,L^*z)=(y,z),\quad z\in D(L^*) \). Se concluye que la definición 2 implica la definición 1.

Inversamente, supongamos que
\begin{align}
    (x,L^*z)=(y,z),\quad z\in D(L^*)
\end{align}

Como \( x\in X \) y \( D(L) \) es denso en \( X \), existe \( \left\{x_k\right\}_{k}\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \). Por definición de adjunta,
\begin{align}
    (w,L^*z)=(Lw,z),\quad w\in D(L),\, z\in D(L^*).
\end{align}
Como \( x_k \in D(L) \),
\begin{align}
    (x_k,L^*z)=(Lx_k,z),\quad z\in D(L^*).
\end{align}
Por lo tanto,
\begin{align}
    (Lx_k,z)=(y,z),\quad z\in D(L^*).
\end{align}
se sigue que \( Lx_k=y \)?, luego, \( Lx_k\to y \) en \( Y \) (ya que de hecho \( Lx_k=y \) pero no creo que esté correcta esta parte).
 

Algunas dudas:

 Pregunta 1. En principio, ¿el elemento \( x \) está en \( X \)?
 
 Pregunta 2 En ambas definiciones, ¿\( D(L) \) debe ser denso en  \( X \)? (Esta pregunta está relacionada con la primera pues si \( x \) está en \( X \) y \( D(L) \) es denso en \( X \), existirá una sucesión  \( \left\{x_k\right\}_k\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) in \( X \) y bastaría probar que también \( Lx_k\to y \) en \( Y \) para probar que la definición 1 implica la definición 2. (lo cual pruebo en la proposición pero no estoy seguro que mi demostración esté correcta).

Actualización. Ya me convencí que el \(  x\in X \) en principio y además se necesita que \( D(L) \) sea denso en \( X \) para que la adjunta esté bien definida (de manera única).

Mi demostración de Definición 2 implica 1 está incorrecta. Lo correcto es lo siguiente:

Definición 2 implica definición 1.
Demostración. Sea \( x\in X \) solución débil de \( Lx=y \), es decir, \( (x,L^*z)=(y,z) \) para todo \( z\in D(L^*) \). Como \( D(L) \) es denso en \( X \), existe \( \left\{x_k\right\}_k\subset D(L) \) tal que \( x_k\to x \) en \( X \). Quiero probar que \( Lx_k\to y \) en \( Y \) para concluir.

Como \( x_k\in D(L) \), por definición de adjunta,
\( (x_k,L^*z)=(Lx_k,z),\quad \forall z\in D(L^*) \).

Como \( x_k\to x \) en \( X \) entonces \( (x_k,L^*z)\to (x,L^*z)=(y,z) \), es decir, \( (Lx_k,z)=(x_k,L^*z)\to (y,z) \) para todo \( z\in D(L^*) \). (esto me imagino que es cierto pero no estoy seguro)

A partir de que \( (Lx_k,z)\to (y,z) \) para todo \( z\in D(L^*) \), ¿cómo se puede concluir de lo anterior que \(  Lx_k\to y \) en \( Y \) ?



     
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