Autor Tema: Equivalencia de "normas"

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01 Noviembre, 2021, 11:29 pm
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Zaragoza

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Buenas tardes he probado este resultado $$\sup\{\|Tu\|:\|v\|=1\}=\sup\{\|Tu\|:\|v\|<1\}$$ cuando $$T$$ es un operador lineal acotado. Pero mi pregunta es qué ocurre cuando $$T$$ es un operador linea no acotado. ¿La igualdad se mantiene?

02 Noviembre, 2021, 09:08 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas tardes he probado este resultado $$\sup\{\|Tu\|:\|v\|=1\}=\sup\{\|Tu\|:\|v\|<1\}$$ cuando $$T$$ es un operador lineal acotado. Pero mi pregunta es qué ocurre cuando $$T$$ es un operador linea no acotado. ¿La igualdad se mantiene?

Si. Si es NO acotado, por definición de (NO) acotado \( \sup\{\|Tu\|:\|u\|=1\}=+\infty \). Entonces dado cualquier \( M>0 \) existe un \( v \) con \( \|v\|=1 \) tal que \( \|Tv\|>M \), pero entonces tomando \( u=v/2 \) set tiene que \( \|u\|<1 \) y \( \|Tu\|=\|Tv\|/2>M/2 \). Por tanto igualmente \( \sup\{\|Tu\|:\|u\|<1\}=+\infty \)

Saludos.