Autor Tema: Solución débil, símbolo elíptico, clase de Hormander, Sobolev.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

22 Octubre, 2021, 08:45 pm
Leído 177 veces

lindtaylor

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,370
  • País: cl
  • Karma: +0/-2
  • Sexo: Masculino
Hola. Estoy intentando probar el problema 16.2 del libro An introduction to pseudo differential operators del autor Wong. Básicamente es probar que una solución débil una ecuación pseudo diferencial con símbolo elíptico en la clase de Hormander, resulta estar en el espacio de Sobolev.


  Problema 16.3  Sea \( \sigma\in S^m,\, m>0 \) un símbolo elíptico, y sea \( f\in L^p, \) para \( 1<p<\infty \). Pruebe que toda solución débil \( u \) en \( L^p \) de la  ecuación pseudo diferencial \( T_{\sigma}u=f \) sobre \( \mathbb{R}^n  \)está en \( H^{m,p} \).

En el mismo texto, hay un Teorema que creo se debe usar, es el siguiente:

 Teorema 16.3  Sea \( \sigma\in S^m,\, m>0 \) un símbolo elíptico, y sea \( f\in L^p \), para \( 1<p<\infty \). Entonces la ecuación pseudo diferencial \( T_{\sigma}u=f \) sobre \( \mathbb{R}^n \) tiene una solución débil \( u \) en \( L^p \) si y sólo si existe una constante positiva \( C \) tal que \( |(f,\varphi)|\leq C\left\|T_{\sigma}^{*}\varphi\right\|_{p'},\quad \varphi\in\mathcal{S} \), donde \( p' \) es un conjugado de \( p \).

Sé que debiera salir de la estimación;
\begin{align}
\left\|u\right\|_{H^{m,p}}^{p}&=\int |\int e^{ix\xi}(1+|\xi|^2)^{m/2}\widehat{u}(\xi) d\xi|^p dx\\
&\leq\int |\int_{|\xi|\leq R} e^{ix\xi}(1+|\xi|^2)^{m/2}\widehat{u}(\xi)d\xi|^p dx +\int |\int_{|\xi|\geq R} e^{ix\xi}\sigma(x,\xi)\widehat{u}(\xi)d\xi|^p dx
\end{align}
siempre que \( |\xi|\geq R \) algún \( R>0. \)

En lo anterior usé la condición de elipticidad en el símbolo. Además de una desigualdad elemental para \( (1+|\xi|^2)^{m/2}\leq C(1+|\xi|^2) \) algún \( C \)

Pero no sé bien como usar la desigualdad que aparece en el Teorema 16.3 para relacionarlo con lo anterior y poder demostrar que \(  \left\|u\right\|_{H^{m,p}}<\infty. \)
....