Autor Tema: Ejercicio 3.18 Brezis sequencia que converge debilmente

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21 Octubre, 2021, 02:38 pm
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caantamha

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Cordial Saludo.

Estoy estudiando el ejercicio 3.18 de Brezis el cual dice lo siguiente:

  • Para cada entero \( n \geq 1 \) sea \( e^n=(0,0,...,1,0,...) \), con \( 1 \) en la n-ésima entrada y \( 0 \) en el resto. Pruebe que \( e^n {\rightharpoonup}0 \) en \( \ell^p \)  debilmente \( \sigma(\ell^p,\ell^{q}) \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \) con \( 1<p \leq \infty \)


Estoy intentando usar el siguiente resultado


Sea \( (x_n) \) una sucesión en \( E \). Entonces \( x_n \rightharpoonup x \)  debilmente \( \sigma(E, E^*) \Leftrightarrow f(x_n) \longrightarrow f(x) \)  \( \forall f \in E^* \)  donde \( E^* \) es el dual de \( E \) .

Si alguien me puede ayudar, agradeceria mucho.  :)




22 Octubre, 2021, 10:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Cordial Saludo.

Estoy estudiando el ejercicio 3.18 de Brezis el cual dice lo siguiente:

  • Para cada entero \( n \geq 1 \) sea \( e^n=(0,0,...,1,0,...) \), con \( 1 \) en la n-ésima entrada y \( 0 \) en el resto. Pruebe que \( e^n {\rightharpoonup}0 \) en \( \ell^p \)  debilmente \( \sigma(\ell^p,\ell^{q}) \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \) con \( 1<p \leq \infty \)


Estoy intentando usar el siguiente resultado


Sea \( (x_n) \) una sucesión en \( E \). Entonces \( x_n \rightharpoonup x \)  debilmente \( \sigma(E, E^*) \Leftrightarrow f(x_n) \longrightarrow f(x) \)  \( \forall f \in E^* \)  donde \( E^* \) es el dual de \( E \) .

Si alguien me puede ayudar, agradeceria mucho.  :)

\( (\ell^p)^* \) es isomorfo a \( (\ell^{p'}) \) con \( \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}=1 \)

En particular toda \( f\in (\ell^p)^* \) es de la forma \( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}x_iy_i \) para algún \( y\in \ell^{p'} \). Por tanto \( f(e_i)=y_i\to 0 \).

Saludos.

23 Octubre, 2021, 02:11 am
Respuesta #2

caantamha

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Hola Luis Fuentes gracias por responder.

Ah entiendo, si tiene razón, me estaba complicando demasiado.

Solo me surgue una duda, si me podría ayudar por favor. ¿Qué pasa en el caso \( p=\infty  \)? porque según entiendo la topología débil sería \( \sigma(\ell^\infty,(\ell^\infty)^*) \) y entonces no sé como entender ese \( \ell^q \) que aparece en el ejercicio.