Autor Tema: Sequencia no acotada con intersecion unitaria.

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17 Octubre, 2021, 02:00 pm
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S.S

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Hola a todos tengo lo siguiente:
Considere \( \ell^{p} \), \( 1<p<\infty \), \( x \in \ell^{p} \) y \(  K_{n}= \overline{con(\bigcup_{i=n}^{\infty}\{xi\})} \) (Cerradura de la intesección de todos los convexos que contienen \( \bigcup_{i=n}^{\infty}\{xi\}  \) ). Construya una sequencia \( (x_{n})  \) em \( \ell^{p} \) tales que \( \bigcap_{n=1}^{\infty}K_{n} = \{ x \} \) y \( (x_{n}) \) es no acotada.


La sugerencia del libro es:
Considere la sequencia  \( x_{n} = \left \{ \begin{matrix} ne_{n} & \mbox{si }\text{n es par}
\\ 0 & \mbox{si }  \text{n impar} \end{matrix}\right.  \).   Donde   \(  e_{n} \) son los vectores canónicos en \( \ell ^{p} \). Pero no puedo provar que \( \bigcap_{n=1}^{\infty}K_{n} = \{ x \} \).


P.D. Este problema aparece en Brezis en el capítulo 3. (Ejercicio 3.13.)
Gracias.