[caantamha]

Cordial saludo.

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio pero no he podido concluirlo, si alguien me puede ajudar agradeceria mucho.

Sea \( E \) un espacio de Banach y sea \( A:D(A)\subset{E}\longrightarrow{E'} \) un operador no acotado densamente definido, donde \( E' \) denota el dual de E. Suponga que existe una constante \( C \) tal que \( \left<{Au,u}\right>\geq{-C \left\|{Au}\right\|}^2 \), \( \forall{u} \in{D(A)} \). Pruebe que \( N(A) \subset{N(A^*)} \) donde \( A^* \) es el adjunto de \( A \) y cumple \( N(A^*)=Im(A)^{\perp{}}=\left\{{u\in E; f(u) =0 , \forall{f} \in Im(A)}\right\} \).

Sugerencia del libro: Sea \( u \in N(A) \) y \( v \in D(A) \) tenemos  \( \left<{A(u+tv),u+tv}\right> \geq{ -C\left\|{A(u+tv)}\right\|}^2 \) para todo \( t \in \mathbb{R}   \), lo cual implica que \( \left<{Av,u}\right>=0 \).


La verdad no dice que el operador sea linear, pero me imagino que si lo es pues el libro maneja la definición con operadores lineares. Utilizando ese hecho y de la sugerencia del libro tengo lo siguiente \( t^2 \left<{Av,v}\right>- t\left<{Av,u}\right> \geq {-C t^2 \left\|{A(v)}\right\|^2} \), por lo tanto \( t^2 (\left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2)- t\left<{Av,u}\right> \geq{0} \) donde \( \left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2 \geq{0} \).

De aqui no sé como concluir que \( \left<{Av,u}\right>=0 \), tampoco si lo que he hecho está bien.

[Luis Fuentes]

Hola

Cordial saludo.

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio pero no he podido concluirlo, si alguien me puede ajudar agradeceria mucho.

Sea \( E \) un espacio de Banach y sea \( A:D(A)\subset{E}\longrightarrow{E'} \) un operador no acotado densamente definido, donde \( E' \) denota el dual de E. Suponga que existe una constante \( C \) tal que \( \left<{Au,u}\right>\geq{-C \left\|{Au}\right\|}^2 \), \( \forall{u} \in{D(A)} \). Pruebe que \( N(A) \subset{N(A^*)} \) donde \( A^* \) es el adjunto de \( A \) y cumple \( N(A^*)=Im(A)^{\perp{}}=\left\{{u\in E; f(u) =0 , \forall{f} \in Im(A)}\right\} \).

Sugerencia del libro: Sea \( u \in N(A) \) y \( v \in D(A) \) tenemos  \( \left<{A(u+tv),u+tv}\right> \geq{ -C\left\|{A(u+tv)}\right\|}^2 \) para todo \( t \in \mathbb{R}   \), lo cual implica que \( \left<{Av,u}\right>=0 \).


La verdad no dice que el operador sea linear, pero me imagino que si lo es pues el libro maneja la definición con operadores lineares. Utilizando ese hecho y de la sugerencia del libro tengo lo siguiente \( t^2 \left<{Av,v}\right>\color{red}-\color{black} t\left<{Av,u}\right> \geq {-C t^2 \left\|{A(v)}\right\|^2} \), por lo tanto \( t^2 (\left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2)\color{red}- \color{black}t\left<{Av,u}\right> \geq{0} \) donde \( \left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2 \geq{0} \).

De aqui no sé como concluir que \( \left<{Av,u}\right>=0 \), tampoco si lo que he hecho está bien.

¿Ese signo menos no sería un más?. Es decir:

\( t^2 (\left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2)\color{red}+ \color{black}t\left<{Av,u}\right> \geq{0} \)

En cualquier caso no cambia el argumento sea más o menos. Si tienes que:

\( Pt^2+Qt\geq 0 \) para todo \( t\in \Bbb R \)

- Si \( P=0 \) entonces queda \( Qt\geq 0 \) para todo \( t\in \Bbb R \) (una recta que sólo toma valores no negativos) y por tanto necesariamente \( Q=0 \).
- Si \( P\neq 0 \) es una parábola que sólo debe de tomar valores no negativos. Sus puntos de corte con los ejes son \( t=0 \) y \( t=-Q/P \). Si fuesen distintos necesariamente la parábola toma valores positivos y negativos, lo cuál contradice la hipótesis. Por tanto \( Q=0 \).

Saludos.

[caantamha]

Hola Luis Fuentes. Muchas gracias por su respuesta. 

Pues la verdad es que me sale con el menos, pero si ese signo no importa. Ya con su ayuda sale, gracias de nuevo.