Autor Tema: Ejercicio 2.19 de analisis funcional Brezis

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12 Octubre, 2021, 11:07 pm
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caantamha

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Cordial saludo.

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio pero no he podido concluirlo, si alguien me puede ajudar agradeceria mucho. :)

Sea \( E \) un espacio de Banach y sea \( A:D(A)\subset{E}\longrightarrow{E'} \) un operador no acotado densamente definido, donde \( E' \) denota el dual de E. Suponga que existe una constante \( C \) tal que \( \left<{Au,u}\right>\geq{-C \left\|{Au}\right\|}^2 \), \( \forall{u} \in{D(A)} \). Pruebe que \( N(A) \subset{N(A^*)} \) donde \( A^* \) es el adjunto de \( A \) y cumple \( N(A^*)=Im(A)^{\perp{}}=\left\{{u\in E; f(u) =0 , \forall{f} \in Im(A)}\right\} \).

Sugerencia del libro: Sea \( u \in N(A) \) y \( v \in D(A) \) tenemos  \( \left<{A(u+tv),u+tv}\right> \geq{ -C\left\|{A(u+tv)}\right\|}^2 \) para todo \( t \in \mathbb{R}   \), lo cual implica que \( \left<{Av,u}\right>=0 \).


La verdad no dice que el operador sea linear, pero me imagino que si lo es pues el libro maneja la definición con operadores lineares. Utilizando ese hecho y de la sugerencia del libro tengo lo siguiente \( t^2 \left<{Av,v}\right>- t\left<{Av,u}\right> \geq {-C t^2 \left\|{A(v)}\right\|^2} \), por lo tanto \( t^2 (\left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2)- t\left<{Av,u}\right> \geq{0} \) donde \( \left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2 \geq{0} \).

De aqui no sé como concluir que \( \left<{Av,u}\right>=0 \), tampoco si lo que he hecho está bien.



13 Octubre, 2021, 09:17 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Cordial saludo.

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio pero no he podido concluirlo, si alguien me puede ajudar agradeceria mucho. :)

Sea \( E \) un espacio de Banach y sea \( A:D(A)\subset{E}\longrightarrow{E'} \) un operador no acotado densamente definido, donde \( E' \) denota el dual de E. Suponga que existe una constante \( C \) tal que \( \left<{Au,u}\right>\geq{-C \left\|{Au}\right\|}^2 \), \( \forall{u} \in{D(A)} \). Pruebe que \( N(A) \subset{N(A^*)} \) donde \( A^* \) es el adjunto de \( A \) y cumple \( N(A^*)=Im(A)^{\perp{}}=\left\{{u\in E; f(u) =0 , \forall{f} \in Im(A)}\right\} \).

Sugerencia del libro: Sea \( u \in N(A) \) y \( v \in D(A) \) tenemos  \( \left<{A(u+tv),u+tv}\right> \geq{ -C\left\|{A(u+tv)}\right\|}^2 \) para todo \( t \in \mathbb{R}   \), lo cual implica que \( \left<{Av,u}\right>=0 \).


La verdad no dice que el operador sea linear, pero me imagino que si lo es pues el libro maneja la definición con operadores lineares. Utilizando ese hecho y de la sugerencia del libro tengo lo siguiente \( t^2 \left<{Av,v}\right>\color{red}-\color{black} t\left<{Av,u}\right> \geq {-C t^2 \left\|{A(v)}\right\|^2} \), por lo tanto \( t^2 (\left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2)\color{red}- \color{black}t\left<{Av,u}\right> \geq{0} \) donde \( \left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2 \geq{0} \).

De aqui no sé como concluir que \( \left<{Av,u}\right>=0 \), tampoco si lo que he hecho está bien.

¿Ese signo menos no sería un más?. Es decir:

\( t^2 (\left<{Av,v}\right> + C\left\|{A(v)}\right\|^2)\color{red}+ \color{black}t\left<{Av,u}\right> \geq{0} \)

En cualquier caso no cambia el argumento sea más o menos. Si tienes que:

\( Pt^2+Qt\geq 0 \) para todo \( t\in \Bbb R \)

- Si \( P=0 \) entonces queda \( Qt\geq 0 \) para todo \( t\in \Bbb R \) (una recta que sólo toma valores no negativos) y por tanto necesariamente \( Q=0 \).
- Si \( P\neq 0 \) es una parábola que sólo debe de tomar valores no negativos. Sus puntos de corte con los ejes son \( t=0 \) y \( t=-Q/P \). Si fuesen distintos necesariamente la parábola toma valores positivos y negativos, lo cuál contradice la hipótesis. Por tanto \( Q=0 \).

Saludos.

13 Octubre, 2021, 12:34 pm
Respuesta #2

caantamha

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Hola Luis Fuentes. Muchas gracias por su respuesta.  :D

Pues la verdad es que me sale con el menos, pero si ese signo no importa. Ya con su ayuda sale, gracias de nuevo.