Por si sirve de algo, estoy totalmente de acuerdo con los comentarios de Carlos y Luis. En el artículo básicamente afirmas sin demostración que el número de soluciones enteras de la ecuación es el número de soluciones módulo \[ 9 \], pero esto no es nada obvio. Hay dos afirmaciones altamente no triviales: 1) toda solución módulo \[ 9 \] se puede "elevar" a una solución en los enteros (obviamente si no hay solución módulo \[ 9 \] tampoco la hay en los enteros, pero la implicación inversa no es nada obvia), y 2) toda solución módulo \[ 9 \] da lugar a una única solución entera, que tampoco es nada obvio pues podría haber varias soluciones enteras que dieran lugar a la misma solución módulo \[ 9 \].
Por otro lado, en ningún momento usas la forma de la ecuación \[ x^3+y^3+z^3=n \], por lo que parece que lo que afirmas debería ser válido para cualquier ecuación diofántica. Pero sin embargo no lo es, pues hay muchas ecuaciones diofánticas que proporcionan contraejemplos a las afirmaciones 1) y 2).
Prop.
Si un número entero v esta elevado al cubo, entonces \( rem(v^3,9)\equiv c \) (mod \( 9 \)), donde \( c\in C \) .
Demostración.
Asumamos que \( rem(v^3,9)\not\equiv c \) (mod \( 9 \)). Ahora por teorema de la división y asumiendo la hipótesis propuesta, podemos definir nuestro entero \( v \) en la forma \( v=9q+2 \), para cualquier entero \( q \). Luego, elevando nuestro entero \( v \) al cubo tendremos que:
\( v^3=(9q+2)^3 \)
\( =729q^3+486q^2+108q+8 \)
\( =9(81q^3+54q^2+12q)+8 \).
Ahora, podemos afirmar que \( (81q^3+54q^2+12q)=t \), donde \( t\in Z \). Además, nuevamente por el teorema de la división podemos reescribir a \( v^3 \) como se sigue:
\( v^3=9t+8 \).
De lo anterior, obtenemos que el resto de \( v^3 \) dividido por \( 9 \) es \( rem(v^3,9)=8 \). Pero como podemos observar, por definición de “Conjunto de cubos congruentes mod \( 9 \)”, entonces \( rem(v^3,9) \in C \), lo cual resulta ser absurdo, ya que \( rem(v^3,9)\not\equiv c \) (mod \( 9 \)).
