[Luis Fuentes]

Hola

 Varias cuestiones relacionadas con subseries.

 1) Dar (si existe) un ejemplo de serie de números racionales positivos de manera que toda subserie de la misma converja a un irracional.
 2) Dar (si existe) un ejemplo de serie de números irracionales positivos de manera que toda subserie de la misma converja a un irracional.
 3) Dar (si existe) un ejemplo de una serie de números reales positivos de manera que toda subserie converja a un racional.

 En los casos en los que no exista, demostrarlo.

Saludos.

[Masacroso]

Para la 1)

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Se puede demostrar que toda serie de la forma

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 0}\frac{c_n}{n!}
} \)

con \( c_n\in\{0,\ldots ,n\} \) converge a un número racional si y solo si los \( c_n \) son eventualmente cero. De ahí se sigue que toda subserie de la expansión de \( e \) (es decir, donde cada \( c_n=1 \)) converge a un número irracional.

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Las otras dos ni idea.


Actualización: para la 3)

Spoiler

Dada una sucesión de reales positivos $$\{x_n\}_{n\in \mathbb N}$$ (con serie convergente) entonces existen, atendiendo solamente a los índices, incontables subsucesiones (todas ellas definen series convergentes, obviamente). Por tanto para demostrar que tal serie no existe bastaría demostrar que las incontables subsucesiones convergen, como series, a incontables valores diferentes.

Como \( \lim_{m\to\infty}\sum_{n\geqslant m}x_n= 0 \) y \( x_n>0 \) para todo \( n \) entonces podemos construir recursivamente una subsucesión \( \{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb N} \) tal que \( x_{n_k}>\sum_{j\geqslant  n_{k+1}}x_j \) para todo \( k \). Si tomamos \( y_k:=x_{n_k} \) entonces \( \{y_k\}_{k\in \mathbb N} \) tiene la propiedad de que \( y_k>\sum_{j>k}y_j \) para todo \( k \). Ahora finalmente observemos que si \( \{y_{k_i}\}_{i\in \mathbb N} \) y \( \{y_{k_j}\}_{j\in \mathbb N} \) son dos subsucesiones diferentes entonces su suma es diferente ya que si \( k_a \) es el primer índice en el que difieren (es decir \( k_a=\min(\{k_i:i \in \mathbb{N}\}\,\triangle\, \{k_j:j\in \mathbb{N}\} \)) entonces la subserie que contenga \( y_{k_a} \) será mayor que la otra, por tanto todas las sumas de las diferentes subseries de \( \{y_n\}_{n\in \mathbb N} \) convergen a valores distintos.∎

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[martiniano]

Hola.

Creo que he dado con una respuesta para la 2)

Spoiler

El número \[ S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{10^{n^2}}} \] tiene, en su expresión decimal, un número infinito de cifras y no es periódico, luego es irracional. Por la misma razón, si al sumatorio le quitamos términos dejando un número infinito de ellos, el resultado sigue siendo irracional. La idea es, entonces, particionar \( \mathbb{Z^+} \) en infinitos conjuntos infinitos \( A_1,A_2,A_3,... \) y definir \[ x_n=\displaystyle\sum_{k\in{A_n}}{\displaystyle\frac{1}{10^{k^2}}} \].

Por un lado se cumple que \[ S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n} \] y por otro que tanto los \( x_n \) como todas las subseries de \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n} \] se pueden obtener quitando términos al sumatorio del principio, por lo que diría que estamos ante una de las series buscadas.

Una posible partición para que todo funcione, por ejemplo, sería la dada por \( A_n=\{x\in\mathbb{Z^+}:\textrm{el mayor primo que divide a } x \textrm{ es el } n\textrm{-ésimo primo}\} \) y meter el \( 1 \) en cualquiera de los conjuntos, en \( A_1 \), por ejemplo.

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Un saludo.

[Carlos Ivorra]

1) y 2) (dos pájaros de un tiro):

Spoiler

El mismo argumento de Masacroso para 1) vale si consideramos una serie que defina un número de Liouville:

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

es decir, una serie de la forma (tomando, por ejemplo, \( b=2 \))

\( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{2^{k!}} \)

donde \( a_k\in \{0,1\} \) y hay infinitos unos.

La diferencia es que ahora no sólo sabemos que todas las subseries convergen a números irracionales, sino que de hecho convergen a números de Liouville, y los números de Liouville son trascendentes.

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number#Liouville_numbers_and_transcendence

Por lo tanto, si multiplicamos la serie por \( \sqrt 2 \), tenemos una serie de números irracionales cuyas subseries convergen a números irracionales, ya que si una subserie sin \( \sqrt 2 \) converge a un número trascendente \( \xi \), entonces \( \sqrt 2 \xi \) también es trascendente (luego irracional). Esto resuelve 2).

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[Luis Fuentes]

Hola

 

   ¡Muy rápidos! Esta cuestión me vino a la cabeza cuando le estaba dando vueltas a este ejercicio:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115485.msg459254#msg459254

   aunque finalmente tampoco me sirvió para resolverlo.

Saludos.