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Foro general / Re: Radio ideal de un girasol
« Último mensaje por Richard R Richard en Hoy a las 01:24 am »


En el capítulo de un girasol se encuentran espirales logarítmicas, dispuestas de manera horaria y antihoraria, semejantes a: 

\( x(t)=(e^n×t)(cos(t)) \)

\( y(t)=(e^n×t)(sin(t))  \)



Curioso... o bien no entiendo como esas funciones dibujarían una curva logarítmica ,

entiendo estas serían

\( (x(t),y(t))=R_0b^\theta\left[\cos\left(\theta-\dfrac{(i-1)2\pi}{n}\right),\sin\left(\theta-\dfrac{(i-1)2\pi}{n}\right)\right] \)

las n curvas que giran en sentido horario  con \( i\in[1,n] \)


\( (x(t),y(t))=R_0b^\theta\left[\cos\left(\theta-\dfrac{(i-1)2\pi}{n}\right),-\sin\left(\theta-\dfrac{(i-1)2\pi}{m}\right)\right] \)

las m curvas que giran en sentido antihorario por ejemplo, y viceversa ya que nada impide la inversa, \( j\in[1,m] \)


A la vez existe la relación \( 1-\dfrac{i}{n}+\dfrac{j}{m}=\dfrac{\theta }{\pi} \)

lo que permite calcular cualquier flor siendo \( f(z) \) la función generadora de la serie de Fibonacci tales que

\( f(x)=\dfrac{\phi^x-(1-\phi)^x}{\sqrt5}=n \)

y

\( f(x-1)=\dfrac{\phi^{x-1}-(1-\phi)^{x-1}}{\sqrt5}=m \)

así que  definiendo el valor de \( x , R_0, b \)\( k \) puedes calcular el tamaño, y la cantidad de intersecciones (granos o pétalos), siendo que el patrón se \( k \) veces cada \( \theta=2\pi k \)  de giro de la flor.

No estoy familiarizado con la definición de floretes ,supongo que la distancia angular entre dos granos debe estar en función de tu ángulo dorado aunque no logro verlo por ahora, pero si entiendo que es es lo que hace la naturaleza con ese ángulo.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Subespacio ortogonal
« Último mensaje por rafaela.santamaria en Hoy a las 01:13 am »
Claroo , entendí perfecto . Muchas graciass 🤎
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Hola a todos,
Tengo problemas con este ejercicio:

\( \displaystyle{
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2} & x\in \mathbb{Q} \\
 -x^{2}& x\notin \mathbb{Q}
\end{matrix}\right.
} \)

¿Cómo saber si \( f \) es derivable en \( x=0 \)?

Moderación: corregido \( \LaTeX \) y ortografía.
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Matemática de Escuelas / Re: Diagonales Cubo
« Último mensaje por hméndez en Hoy a las 12:04 am »
¿Cuántas diagonales tiene un cubo?

Por la fórmula \( D = C_{V,2}-A-d \) =14 pero la correcta sería 16. ¿Dónde está el error?

n representa el número de aristas de la cara, A el número de aristas y V el número de vértices

\( D = \frac{8!}{2!6!}-12 - \frac{4(4-3)}{2}=28-12-2=14 \)

pero diagonales de la cara = 2 .6 = 12
diagonales internas = 4
por lo tanto 12+4 = 16

Hola petras.

\( C_{8,2} \) cuenta el número de pares de vértices que se pueden formar de un total de 8. Cada par significa o una diagonal o una arista.
De modo que para encontrar el numero de diagonales solo basta restar al numero anterior el numero de aristas.

Saludos.

5
Hola a todos tengo el siguiente enunciado.

Si \( f \) es una función cuadrática, i.e., \(  f(x)=\langle Qx,x\rangle +\langle q,x\rangle + c  \), donde \( Q \) es una matriz simétrica de tamaño \( n\times n \), \( q\in \mathbb{R}^{n} \) y \( c\in \mathbb{R} \). Entonces

1. Si el problema \( f \) tiene  mínimo local, entonces la matriz \( Q \) es semidefinida positiva y todo minimizador local es global.
2.Si \( Q \) es definida positiva,entonces  \( f \) es coerciva. En particular el problema de minimización de \( f \) sobre cualquier conjunto \( D\subset \mathbb{R}^{n} \) no vacio y cerrado tiene minimizador global. mostrar que esto no es verdad cuando \( D \) no es cerrado.
      
Lo que intente hacer fue lo siguiente

1. Sea \( \overline{x} \) el mínimo local de \( f \). Note que \( f \) es una función polinomial de grado \( 2 \) luego de orden \( C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) \) asi usando la expansión de Taylor y el hecho de que \( \overline{x} \) es minimizador se tiene  \( \langle f^{\prime \prime}(\overline{x})d,d \rangle \geq 0 \hspace{3mm}\text{para cada}\hspace{2mm}d \in \mathbb{R}^{n} \) y como \( f^{\prime \prime}(\overline{x})=Q \), se tiene que \( Q \) es semidefinida positiva.  No sé si se pueda provar sin recurrir a la diferenciabilidad y la parte de que todo mínimo local es global no sabría como iniciarla.

2. Para provar que es coerciva lo que estoy intentando es ver que como \( Q \) es simetrica sea \(  \lambda >0 \) el menor valor propio de \( Q \) luego se tiene  \( \lambda\left\|{x}\right\|^{2}+ \langle q,x\rangle +c \leq f(x) \)  Luego intento decir que \( \displaystyle \lim_{\left\|{x}\right\|\to \infty}\lambda\left\|{x}\right\|^{2}+ \langle q,x\rangle +c= + \infty \) pero no sé provar esto formalmente y si sea verdad. La segunda parte no se me ocurre nada aún.

Gracias de antemano.
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Matemática de Escuelas / Re: Número trascendente (dos dudas)
« Último mensaje por Kaspar en Ayer a las 10:47 pm »
Entendido, muchas gracias.

Saludos.
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Matemática de Escuelas / Re: Diagonales Cubo
« Último mensaje por Richard R Richard en Ayer a las 10:33 pm »
Otra forma de verlo, llamamos diagonal a todo segmento que une dos vértices del cubo, tenemos que descontar las aristas


el cubo tiene 8 vértices  descontando el vértice inicio y las conexionesque son tres aristas cada vértice conecta con 4 diagonales a otros vértices restantes, si hay 8 vértices   habría \( 8\cdot 4 = 32 \) conexiones diagonales pero  estamos repitiéndolas pues la que empieza en el vertice A y termina en el B es la misma que empieza en B y termina en A, por lo que estamos duplicando la cuenta es decir hay la mitad de 32  osea 16.
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Matemática de Escuelas / Re: Número trascendente (dos dudas)
« Último mensaje por Eparoh en Ayer a las 10:15 pm »
Hola

Intuyo que la contradicción indicada se encuentra en que el número trascendente aparece aquí como solución a una ecuación polinómica con coeficientes racionales, lo que contradice la naturaleza misma del número trascendente, antónimo del número algebraico. Quizás el hecho de que el número trascendente forme parte del polinomio y de la solución tenga algo que ver, pues uno entre un número entero elevado a dos y multiplicado por ese entero elevado a dos es igual a uno. Esto último implica, creo, que todos los coeficientes se anulan, lo que disuelve la contradicción.

No entiendo del todo lo que quieres decir, pero intento explicarme mejor.

Aunque no es realmente tan sencillo de demostrar como puse en el mensaje anterior, el siguiente resultado es cierto:

Proposición: Si \( a \) y \( b \) son números algebraicos, entonces \( ab \) es un número algebraico.

Ahora, respecto a tu problema.

Sea \( T \) un número trascendente y supongamos por reducción al absurdo que \( \gamma=n \sqrt{T} \) no es trascendente, es decir, que es algebraico.

Como \( \gamma \) es algebraico, por la proposición tenemos que

\( \gamma \cdot \gamma = \gamma^2 = n^2 T \)

es un número algebraico. Por tanto, si llamamos \( \alpha=n^2 T \), acabamos de demostrar que \( \alpha \) es algebraico.

Por otra parte, todo número racional es algebraico, por lo que \( \beta=1/n^2 \) es también un número algebraico.

Utilizando de nuevo la proposición tenemos entonces que \( \alpha \beta \) es un número algebraico, pero

\( \alpha \beta = \left(n^2 T \right) \dfrac{1}{n^2}=T \)

Luego, de suponer que \( n\sqrt{T} \) es algebraico hemos concluido que \( T \) es algebraico, lo cual es la contradicción buscada (porque \( T \) es por hipótesis trascendente).

Así pues, no puede ser que \( n\sqrt{T} \) sea algebraico, con lo cual debe ser trascendente.

Espero que haya quedado más claro ahora.

Un saludo.
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Foro general / Re: Duda Probabilidad de oposiciones
« Último mensaje por Masacroso en Ayer a las 09:38 pm »
Buenas tardes, no se bien si este es el sitio en el que colocar esta pequeña duda... si no es así pido disculpas.

Me gustaría pedir ayuda para el cálculo de probabilidades que tengo en un examen de la oposición. En internet hay muchas calculadoras pero creo recordar (mis conocimientos matemáticos son bastante básicos) que lo que busco es probabilidad combinada y no encuentro nada parecido.

Mi examen consta de 50 temas y el día del examen se sacan aleatoriamente 3 temas y de ellos debo elegir 2 para redactarlos. Me gustaría saber el cálculo que hay que hacer y el resultado de la probabilidad si voy al examen con 35 temas ya que no creo que pueda estudiar mas.

Gracias de antemano

La probabilidad de que, de los tres temas sacados, al menos conozcas dos es: la probabilidad de que conozcas los tres más la probabilidad de que conozcas exactamente dos. La probabilidad de conocer todos los temas es

\( \displaystyle{
p_1=\frac{35}{50}\cdot \frac{34}{49}\cdot \frac{33}{48}
} \)

Y la probabilidad de conocer exactamente dos de los tres es

\( \displaystyle{
p_2=3\cdot \frac{35}{50}\cdot \frac{34}{49}\cdot \frac{15}{48}
} \)

La probabilidad que buscas, como he dicho antes, es \( p_1+p_2 \).

Nota: las probabilidades así expresadas son un número entre cero y uno, multiplicando por cien ese número tienes la probabilidad expresada como tanto por ciento.

Segunda nota: estoy asumiendo en el cálculo anterior que la probabilidad de extraer un tema es igual para todos los temas, es decir, que los temas son equiprobables.
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Matemática de Escuelas / Re: Diagonaels Cubo
« Último mensaje por petras en Ayer a las 09:12 pm »
Buenas petras :)

Por la fórmula \( D = C_{V,2}-A-d \) (...)

¿Qué representa \( d \) en tu formula?

Para forma una diagonal debemos seleccionar 2 vértices (contamos los adyacentes y luego los quitamos), esto lo podemos hacer de \( \binom{V}{2} \) maneras, luego basta restar la cantidad de aristas.

\( D=\binom{8}{2}-12=24-12=16 \)

Saludos,
Franco.

d = n. diagonales  de la cara
d = \( \frac{n(n-3)}{2} \)

Estaría mal la formula que publiqué?
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