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Temas - Quema

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Computación e Informática / Ajedrez IA
« en: 22 Septiembre, 2022, 02:50 pm »
Estoy siguiendo los análisis de las partidas de ajedrez de los últimos días y las supuestas trampas con programas de inteligencia artificial (IA). Algunas reflexiones:
1) Parece claro que, de ser cierto el uso de IA, mostraría que ésta supera ampliamente a la capacidad de juego de los seres humanos.
2) He visto que a veces han hecho partidas entre el mismo programa contra sí mismo (alphazero, stockfish). Creo que el jugador que mueve primero tiene (piezas blancas), estadísticamente una cierta ventaja sobre la negras (algo así como 53% en lugar de 50%) entonces esos programas jugando contra sí mismo deberían no perder SIEMPRE jugando con las blancas, salvo que hay primeros movimientos no óptimos pero la máquina no los jugaría. Creo que hay 20 posibilidades en la primera jugada, debe haber alguna que no sea óptima.

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Consultas y comentarios / Integral definida con parámetro
« en: 14 Septiembre, 2022, 10:37 pm »
En Geogebra quiero realizar la integral \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^2e^{-x/a}}{a^2}dx \) y pone ?. Adjunto imagen.

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Cálculo 1 variable / Máximo de una partición
« en: 09 Septiembre, 2022, 09:34 pm »
Supongamos que tengo una función creciente tal que \( f(x) \) es subaditiva para \( x>0, \) \( f(0)=0 \) y \( f(x)\leq{}-f(-x) \) para \( x>0. \) Se puede mostrar que si \( x>0>y, x+y>0 \) entonces \( f(x+y)\geq{}f(x)+f(y). \)

Ahora supongamos que tengo un vector de valores reales \( \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n) \) con \( x_1\geq{}x_2\geq{}...\geq{}x_n \). Supongamos que puedo generar más vectores a partir de este vector, simplemente sumando dos elementos del mismo, de manera sucesiva y le llamo \( S \) al conjunto de esos vectores generados a partir de \( \mathbf{x} \). Sería una partición  siendo la cantidad de vectores de \( S  \) sería el número de Bell según la dimensión del vector inicial. 

Defino \( g:\mathbf{x}\rightarrow{}R \) tal que \( g(\mathbf{x})=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n). \) Quiero hallar el vector perteneciente a \(  S \) que maximice \( g(\mathbf{x}). \)

Para que quede más claro el planteo, supongamos que el vector original es \( \mathbf{x}=(3,2,1) \) entonces a partir de este vector \( S \) estaría formado por los vectores \( (3,2,1), (4,2,0),(5,1,0), (6,0,0), (3,3,0).  \)Creo que en este caso el vector de arranque es el que maximizaría \( g(\mathbf{x}) \) por la subaditividad de \( f. \)

Ahora, si algunos de los elementos del vector de inicio es negativo, las cosas se complican un poco más. Supongamos que \( \mathbf{x}=(5,4,3,-1,-2) \) entonces \( S \) tendría 52 elementos, pero usando el resultado de más arriba, me animaría a decir que \( (3,3,3,0,0) \) es el vector que maximiza \( g(\mathbf{x}). \) Simplemente usando un algoritmo generando nuevos vectores sumando el mayor elemento  y el menor elemento del vector, siempre que esta suma no sea negativa. Es decir, arrancando de \( (5,4,3,-1,-2) \) se que por el resultado de más arriba \( (4,3,3,0,-1) \) es mejor que el anterior y \( (3,3,3,0,0) \) mejor aún. Una vez que tenga todos los elementos del vector no negativos, se que no se podrá mejorar, simplemente por la subaditividad de \( f. \)

Falta algo más?

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Cálculo 1 variable / Desigualdades parámetros
« en: 02 Septiembre, 2022, 10:23 pm »
Necesito el signo de las siguientes funciones respecto a sus parámetros:

1) \( f(a,b,c,d)=e^{-a(-lnx)^b}-e^{-c(-lnx)^d} \) con \( a,b,c,d>0 \) y \( x\in [0,1] \),
2) \( g(a,b,c,d)=\displaystyle\frac{x^a}{(x^a+(1-x)^a)^b}-\displaystyle\frac{x^c}{(x^c+(1-x)^c)^d} \) con \( a,c\in [0,1], b, d>0 \) y y \( x\in [0,1] \).
3) \( h(a,b,c,d)=e^{-a(-lnx)^b}-\displaystyle\frac{x^c}{(x^c+(1-x)^c)^d} \) con  \( a,b>0, \) \( c\in [0,1], d>0 \)  y \( x\in [0,1] \).

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Cálculo 1 variable / Familia de funciones
« en: 26 Agosto, 2022, 02:16 pm »
Si \( w \) es una función continua, creciente, cóncava-convexa, definida en \( [0,1] \) con un punto de inflexiòn en \( c \) con \( w(0)=0,w(1)=1. \) Defino \( RS_1=\displaystyle\frac{-pw''(p)}{w'(p)} \) para \( p \in [0,c] \)y \( RS_2=\displaystyle\frac{-(1-p)\displaystyle\frac{\delta^2(1-w(p))}{\delta(1-p)^2}}{\displaystyle\frac{\delta(1-w(p))}{\delta (1-p)}} \) para \( p \in (c,1]. \)
Quiero hallar la familia de funciones \( w \) tal que \( RS_1=RS_2=k \in R_+ \)

En la literatura del tema se propone \( w(p)=c^{1-a}p^a \) si \( 0\leq p \leq c \) y \( w(p)=1-(1-c)^{1-a}(1-p)^a \) si \( c<p\leq 1. \) Siendo \( RS_1=RS_2=1-a \) siendo \( a>0. \) Es la única función que puede hallarse o hay más?.

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Se puede hallar la integral de

\( \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-a(lnx)^b}dx \)

siendo \( a>0,b>0. \)

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Cálculo 1 variable / Curvatura y elevación
« en: 17 Agosto, 2022, 04:34 pm »
Supongamos que tengo una función \( f(x) \) creciente, diferenciable definida en \( [0,1] \) con \( f(0)=0,f(1)=1 \) con forma cóncava-convexa con un punto de inflexión en \( c. \) Defino la curvatura de \( f(x) \) en el intervalo unitario como

\( \displaystyle\int_{0}^{1}k(x)dx \) con \( k(x)=\displaystyle\frac{\left |{f''(x)}\right |}{(1+f'(x)^2)^{1.5}}. \) La elevación de \( f(x) \) en el intervalo unitario la defino como \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx. \)

Obviamente parece que tanto la curvatura como la elevación están relacionadas, puede encontrarse alguna ecuación que las relacione de alguna forma sencilla o intuitiva.

Se que

\( \displaystyle\int_{0}^{1}k(x)dx=\frac{f'(0)}{\sqrt[ ]{1+f'(0)^2}}+\frac{f'(1)}{\sqrt[ ]{1+f'(1)^2}}-2\frac{f'(c)}{\sqrt[ ]{1+f'(c)^2}}. \)


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Computación e Informática / Software matemática gratuito
« en: 11 Agosto, 2022, 02:54 pm »
Me pueden recomendar algún software gratuito que calcule integrales dobles, etc. que no requiera de conexión a internet.

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Computación e Informática / Programación dinámica
« en: 26 Julio, 2022, 08:00 pm »
Tengo la siguiente matríz donde cada celda indica la ubicación de un avión y el ahorro de combustible según la dirección del viento, siendo la primera fila la altitud del avión y la última el piso. El avión puede moverse hacia arriba, hacia la derecha o hacia abajo. El costo de combustible si se mantiene en la misma altitud es de 20, si sube 30 y si baja 10. Tengo que hallar, utilizando un algoritmo de programación dinámica el mínimo costo de combustible desde la celda 13 hasta la 33. La siguiente matriz muestra el viento a favor o en contra para cada ruta elegida (negativo significa viento a favor, y gasta menos combustible.

\( A= \)\begin{bmatrix}{10}&{-2}&{-5}\\{5}&{4}&{7}\\{-6}&{-9}&{4}\end{bmatrix}

PD: Lo simplifiqué el problema para luego generalizarlo a matrices de más dimensiones.

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Matemática Discreta y Algoritmos / Log (n!)
« en: 24 Julio, 2022, 11:03 pm »
\( log(n!)=log(n(n-1)...1)=logn+log(n-1)+...+log(1) \) como \( log(n)=log(n-1)=...=log(1)=O(logn) \) entonces \( log(n!)=O(log n) \)

¿Què estoy haciendo mal?


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Matemática Discreta y Algoritmos / Recurrencia
« en: 19 Julio, 2022, 02:40 am »
Me piden una cota asintótica superior de \( T(n) \) siendo constante para \( n\leq{}2 \) de:

1) \( T(n)=T(\sqrt[ ]{n})+1, \)
2) \( T(n)=T(n-1)+n. \)

¿Cómo se halla?

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Si me piden que ordene según el orden de crecimiento de estas funciones:

1) \( \sqrt[ ]{n}ln(n), \)
2) \( ln ln (n), \)
3) \( ln (n^2). \)
4) \( (ln(n))! \)

¿Cómo debe hacerse?

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Programación lineal / Costos fijos
« en: 15 Mayo, 2022, 05:40 pm »
En los ejercicios de programación lineal donde se debe determinar las cantidades a producir en el cual cada producto tiene un costo fijo (costo de arranque) se suele utilizar una variable auxiliar binaria y se define la restricción \( x_1\leq{}5y_1 \) donde 5 es la capacidad máxima de producción del producto 1. Se dice que si \( y_1=0 \) entonces necesariamente no se producirá el producto 1, y si \( y_1=1 \) entonces la restricción opera en la capacidad máxima del producto 1, que en este caso es 5. Mi duda está en que en éste último caso no implica que \( x_1=0 \) lo cual no tendría mucho sentido, es decir incurrir en costos fijos siendo el óptimo la no producción de ese producto.

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Programación lineal / Precio sombra cero y restricción activa
« en: 27 Abril, 2022, 09:10 pm »
En el ejercicio adjunto me dan las dos restricciones activas (es decir con igualdad) en el óptimo, sin embargo en una su precio sombra es cero. Está bien, eso no podría ocurrir si hay infinitas soluciones?.

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Programación lineal / Sin solución
« en: 21 Abril, 2022, 03:27 pm »
Estoy tratando de resolver este ejercicio y me da que no tiene solución, no se dónde está el error.
es maximizar
\( 300x_1+200x_2+150x_3 \) sujeto a

\( 20x_1+10x_2+8x_3 \leq 2000 \)

\( 12x_1+15x_2+30x_3 \leq 2500 \)

\( 30x_1+30x_2+20x_3 \leq 3000 \)

\( 55\leq x_1 \leq 60 \)
\( 40\leq x_2 \leq 45 \)
\( 40\leq x_3 \)

Me preguntan además, si se cumple el principio de proporcionalidad.


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Geometría y Topología / Forma balones de fútbol
« en: 30 Marzo, 2022, 09:43 pm »
Lo puse en un tema de topología, pues creo que tiene que ver con la forma del balón. El balón actual parece ser más tipo globo, por eso, creo que hay estadísticas de la siguiente observación, se convierten menos goles de cabeza y de tiros libres. También es llamativo que los tiros de esquina la mayoría de los tiros van al primer palo (en mi época de jugador universitario era sustituido si cometía ese error más de una vez durante el partido). Y es usual ver a jugadores de categoría realizar tiros que pasan 10 metros por arriba de la portería.
Creo que el peso y las dimensiones más o menos se mantienen, pero la forma de los gajos cambiaron. Además, los balones de ahora deben ser más impermeables. Los balones de los 50s cuando llovía aumentaban considerablemente su peso. Sería interesante ver un partido de fútbol profesional actual jugado con balones digamos del mundial del 1974 o 1978.

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- Otros - / Archivos de matemática
« en: 29 Marzo, 2022, 04:30 pm »
Hola

Alguien sabe si existe algún lugar donde se estén almacenando todos los libros, artículos, etc. de la ciencia (en particular de matemática), que sea a prueba de catástrofes realizadas por el hombre o de otro tipo.

Saludos

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Teoría de Conjuntos / Paradoja de Russell
« en: 17 Marzo, 2022, 09:16 pm »
¿Es esto es un ejemplo de la paradoja de Russell?

https://www.pantallazo.com.uy/Pantallazo/Nicolas-Cage-obtuvo-la-mejor-puntuacion-por-la-pelicula-en-la-que-se-interpreta-a-si-mismo-uc815979

Es decir, un actor que se interpreta a sí mismo no tendría que tener malas críticas en su actuación.

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Programación lineal / Ejercicio programación lineal
« en: 14 Marzo, 2022, 03:56 pm »
Tengo duda en la solución del ejercicio adjunto. Por qué restringe \( x_1\leq{}4 \) cuando podría producir hasta 10 unidades si utilizará la capacidad instalada de las tres plantas (y 15 del producto 2). Hay algo en el enunciado que falta aclarar me parece o no estoy entendiendo.

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Probabilidad / Formula general
« en: 18 Febrero, 2022, 06:51 pm »
Sean \( X_1,X_2,...X_n \) variables aleatorias independientes tales que \( P(X_i=x)=1/x \) y \( P(X_i=0)=1-1/x \) para todo \( i=1,2,...,n \) y con \( 1\leq{}x\leq{}n+1 \).

He notado que para \( n=5 \)  y \( 3\leq{}x<6 \):

\( P(X_1+X_2+...+X_5\geq{}6)=(\displaystyle\frac{1}{x})^5(1+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)). \)

Cuando \( x=6 \) la fórmula queda (sin sustiuir el \( x \)):

\( P(X_1+X_2+...+X_5\geq{}6)=(\displaystyle\frac{1}{x})^5(1+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)). \)

Se puede extender esta observación para cualquier \( n. \)

Creo que todo surge de (no estoy seguro que tenga bien los índices):

\( f(x)=P(X_1+X_2+...+X_n\geq{}n+1)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}{}C_i^{n}(\displaystyle\frac{1}{x})^i(1-\displaystyle\frac{1}{x})^{n-i} \) para \( \displaystyle\frac{n+1}{2}\leq{}x<n+1 \)

Si todo esto está bien, quiero probar que \( f(x) \) es decreciente en ese intervalo. Creo que esto son los polinomios de Bernstein.


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