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Temas - franma

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1
Buenas a todos,

Estoy intentando probar que dada una variedad orientable (cubrimiento por parametrizaciones con determinante del jacobiano del cambio de cartas positivo) la orientación inducida en los tangentes esta bien definida, es decir, dado \( p \in M \) y \( \phi: U \to M \) , \( \psi : V \to M \) parametrizaciones con \( \phi(x)=\psi(y)=p \) entonces las siguientes bases del tangente (\( T_pM \)):
\( \{D\phi(x) e_1,...,D\phi(x) e_m\} \) y \( \{D\psi(y) e_1,...,D\psi(y) e_m\} \) tienen la misma orientación (el determinante del cambio de base es positivo).

He estado intentando encontrar la matriz de cambio de base a partir de los cambios de cartas:
\( h:U \to V \) dada por \( h=\psi^{-1}\circ \phi  \)
y \( g:V \to U \) dada por \( g=\phi^{-1}\circ \psi \)

Es decir, busco una T.L \( A:T_pM \to T_pM \) tal que \( A(D\phi(x)e_i)=D\psi(y)e_i \)

Pero no logro dar con la misma :banghead:.

¿Alguna ayuda?

Corregido.

Saludos,
Franco.

2
Buenas a todos,

Estoy intentando ver que \( \mathbb{R} \) con la K-topología, esto es, la topología generada por los intervalos \( \{(a,b) : a,b\in \mathbb{R}\} \) y los intervalos sin \( K \), \( \{(a,b)\setminus K : a,b\in \mathbb{R} \} \) donde \( K=\{1/n:n\in \mathbb{N} \} \)

Se que la idea es probar que el \( 0 \) y \( K \) no pueden ser separados por abiertos, pero no logro encontrar como comenzar.

¿Alguna pista o idea?

Saludos,
Franco.

3
Cálculo de Varias Variables / Forma de volumen en $$S^n$$
« en: 18 Junio, 2022, 09:30 pm »
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( S^n \) la \( n \)-esfera en \( \mathbb{R}^{n+1} \). Probar que la restricción de la forma
\( \omega=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}{(-1)^{i-1}x_i dx_1\wedge\cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge x_{n+1}} \)
es la \( n \)-forma de volumen.

Logre comprobar el resultado para \( n=2,3 \), sin embargo al intentar ver si da 1 en una base ortonormal orientada me tranco en las cuentas.

¿Alguna idea para seguir?

Saludos,
Franco.

4
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:

Sea \( f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k \) suave, y supongamos que \( 0 \) es un valor regular. Consideremos la variedad \( M=f^{-1}(0) \), de dimensión \( n-k \). (La idea de este ejercicio es probar que \( M \) es orientable).

(1). Considerar la k-forma \( df_1 \wedge \cdots \wedge df_k \in \Omega^k(\mathbb{R}^n) \). Escribiendo
\( df_1 \wedge \cdots \wedge df_k=\displaystyle\sum_{I}f_Idx_I \)
(sumando en k-multi-índices ordenados), se tiene que para todo \( p\in M \) existe algún \( I \) tal que \( f_I(p) \) es diferente de \( 0 \).

(2). Probar que existe \( \omega \in \Omega^{n-k}(\mathbb{R}^n) \), tal que:
\( df_1 \wedge \cdots \wedge df_k \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n \)


(3). Concluir que \( \omega \) induce una \( n-k \) forma diferencial en \( M \) no nula.

Para el apartado (1) razone lo siguiente:

f esta dada por \( f(x)=(f_1(x),...,f_2(x)) \) luego desarrollando la expresión de la k-forma:
\( \displaystyle df_1 \wedge \cdots \wedge df_k =\left( \sum_{i_1=1}^n{\dfrac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}}dx_{i_1}} \right) \wedge \cdots \wedge \left(  \sum_{i_{k}=1}^n{\dfrac{\partial f_k}{\partial x_{i_k}}dx_{i_k}} \right) =\displaystyle \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_{k}=1}^n \dfrac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}} \cdots \dfrac{\partial f_k}{\partial x_{i_k}} dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} \)

Ahora como \( 0 \) es un valor regular de \( f \), dado \( p \in f^{-1}(0) \) tenemos que existen índices \( j_1,...,j_k \) tales que \( \dfrac{\partial f_i}{\partial x_{j_i}}(p)\neq 0 \) para \( i=1,...,k \) pues el diferencial es de rango máximo.
(Agrego un poco más) Podemos suponer que las primeras \( k \) columnas de la matriz Jacobiana son L.I (para simplificar, si no, las movemos para que sean las primeras k), estas formaran una matriz \( k\times k \) invertible, luego basta tomar un elemento de cada columna (cualquier fila), así tendremos nuestros \( k \) índices \( j_1,...,j_k \) cumpliendo \( j_1<\cdots<j_k \).

Me gustaría alguna pista o indicación para el apartado (2), para poder pensarlo.

Saludos,
Franco.

5
Probabilidad / Función empírica.
« en: 05 Junio, 2022, 09:17 pm »
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Dada una muestra aleatoria simple \( X_1,..., X_n \) de v.a. i.i.d. con distribución común \( F \), construimos su función empírica mediante la formula:
\( F_n(x)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{ \textbf {1}_{\{X_k \leq x\}}} \)
(1) Verificar que la distribución \( F_n \) corresponde a una variable aleatoria discreta que toma los valores \( X_1,..., X_n \) (que se suponen fijos en el razonamiento) con equiprobabilidad.
(2) Demostrar, que para \( x \) fijo, \( F_n(x) \) converge en probabilidad a \( F(x) \). Para esto se puede utilizar el Teorema de Bernoulli, identificando un esquema de Bernoulli subyacente.

No entiendo que debo hacer para el primer apartado, espero alguien me pueda dar alguna indicación.

Saludos,
Franco.

6
Buenas a todos,

Tengo dudas sobre el siguiente fragmento (Elementos de la lógica teórica - D.Hilbert y W.Ackermann):

Citar
(...) El teorema siguiente proporciona una visión formal de conjunto de las formas proposicionales construidas con las \( A_1,...,A_n \): Se toma la forma proposicional \( (A_1 \land \neg A_1) \lor (A_2 \land \neg A_2) \lor ... \lor  (A_n \land \neg A_n) \) y se la lleva a la forma conyuntiva normal utilizando para ello la primera ley distributiva, cada una de las conyunciones parciales proporciona una de las posibles formas proposicionales. La única excepción es la forma proposicional tautológica , que no aparece por este método -a no ser que se deba considerar como tal la conyunción parcial vacía.

No me queda claro que significa conyunciones parciales. Para el caso de una sola variable \( A \), siguiendo el método tendríamos que llevar \( (A \land \neg A) \) a su forma conyuntiva normal, pero esta ya esta en forma conyuntiva normal.

Sin contar la expresión tautológica, tendríamos que poder obtener \( A \),\( \neg A \) y \( A \land \neg A \).

¿Cómo se prosigue con el método?

Saludos,
Franco.

7
Estadística / Test de hipótesis (nacimientos).
« en: 28 Abril, 2022, 10:15 pm »
Buenas a todos,

El ejercicio dice lo siguiente:
Supongamos que entre \( 400 \) niños que nacen, \( 210 \) son varones. Suponer \( \alpha = 0.05 \)
  • Realizar un test de hipótesis bilateral para investigar si la proporción de nacimiento de niñas y varones es igual.
  • Bajo la sospecha de que la proporción de varones al nacimiento es mayor que la de niñas, realizar un test de hipótesis unilateral.
  • Calcular la potencia del test anterior, en el supuesto de testear \( p = 0.5 \) contra \( p > 0.52 \).

Realice lo siguiente:
Para la parte (1), defino:
\( H_0: p_0=1/2 \)
\( H_1: p_0 \neq 1/2 \)

Calculo el intervalo de confianza para \( \alpha =0.05 \) , tenemos \( \varepsilon = 1.96 \cdot \dfrac{\sqrt{p_0(1-p_0)}}{\sqrt n} ={0.049} \) por lo tanto \( I=(0.451, 0.549) \) y el intervalo de rechazo \( R= [0,1] \setminus I \).
Para este caso tenemos que el estimador de \( p \) es \( \hat{p}=\dfrac{210}{400}=0.525 \), por lo tanto no tenemos suficiente evidencia estadística como para rechazar \( H_0 \).

Para la parte (2), defino:
\( H_0: p_0=1/2 \)
\( H_1: p_0 > 1/2 \)

Calculo el intervalo de confianza para \( \alpha =0.05 \) , tenemos \( \varepsilon = 1.645 \cdot \dfrac{\sqrt{p_0(1-p_0)}}{\sqrt n} ={0.041125} \) por lo tanto \( I=(0.458, 0.541) \) y el intervalo de rechazo \( R= [0,1] \setminus I \).
Para este caso tenemos que el estimador de \( p \) es \( \hat{p}=\dfrac{210}{400}=0.525 \), nuevamente no tenemos suficiente evidencia estadística como para rechazar \( H_0 \).

Para la parte (3) calculo la potencia de la siguiente manera:
\( \pi=\mathbb{P}_{H_1}(\hat{p}>0.52)=\mathbb{P}_{H_1}\left(  \dfrac{n\hat{p} - np_0 }{\sqrt{np_0(1-p_0)}}> \dfrac{n0.52 - np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}} \right) = \mathbb{P}_{H_1}\left(  \dfrac{n\hat{p} - np_0 }{\sqrt{np_0(1-p_0)}}>0.8 \right)  \approx 1-\Phi(0.8) = 0.2118554 \)

¿Es correcto el desarrollo?

Saludos,
Franco.

8
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
(a) Sea \( B_r=\{x \in \mathbb{R}^n : \left\|{x}\right\|<r\} \) con \( r>0 \). Mostrar que \( f:B_r \to \mathbb{R}^n \) definida por \( f(x)=\dfrac{rx}{\sqrt{r^2-\left\|{x}\right\|^2}} \) es un difeomorfismo de clase \( C^\infty \) entre \( B_r \) y \( \mathbb{R}^n \)

(b) Sea \( M \) una variedad de dimensión \( k \). Probar que todo punto de \( M \) tiene un entorno difeomorfo a todo \( \mathbb{R}^k \) y que, en consecuencia, las parametrizaciones pueden ser elegidas con dominio en \( \mathbb{R}^k \)

Para la parte (a) se puede ver que \( f \) es \( C^\infty \) comprobando que es composición y producto de funciones \( C^\infty \) en su dominio.
No puedo lograr ver si es biyectiva y con inversa biyectiva \( C^\infty \).

¿Alguna pista para continuar?

Variedad Diferenciable
\( M\subset  \mathbb{R}^n \) es una variedad diferenciable de dimensión \( d \)  si \( \forall p \in M \) se tiene que existe \( U \) abierto de \( p \) en \( \mathbb{R}^n \) y \( W \) abierto de \( \mathbb{R}^n \) y \( h:U\to W \) difeomorfismo tal que \( h(U\cap M)= (\mathbb{R}^d\times\{0\}^{n-d})\cap W \)
[cerrar]

Variedad Diferenciable vía parametrización
Un subconjunto \( M\subset \mathbb{R}^n \) es una variedad diferenciable de dimensión \( d \) si y solo si para todo \( x  \in M \) se satisface lo siguiente:

Existe un abierto \( U \) conteniendo \( x \), un abierto \( V \subset \mathbb{R}^d \) , y un mapa inyectivo \( \varphi :V\to \mathbb{R}^n \) tal que:
  • \( \varphi(V)=M\cap U \)
  • \( D \varphi(y) \) tiene rango máximo para todo \( y \in V \)
  • \( \varphi^{-1}:\varphi(V) \to V \) es continua (con la topología relativa)
[cerrar]

Saludos,
Franco.

9
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( F:\mathbb{R}^{n\times n} \to \text{Sim}_n (\mathbb{R}) \) dada por \( F(A)=A^TA \), donde \( \text{Sim}_n (\mathbb{R}) := \{B \in \mathbb{R}^{n \times n}: \ B^T=B \} \).
(a) Probar que \( F \) es de clase \( C^\infty \)  calcular \( DF(A) \) (recordar que si F es diferenciable en \( A \), entonces \( DF(A)(B) = \displaystyle\lim_{t \to{0}}{\dfrac{F(A+Bt)-F(A)}{t}} , \forall\ B \in \mathbb{R}^{n\times n} \) )

(b) Mostrar que \( \text{Id}_n \in \text{Sim}_n (\mathbb{R}) \) es un valor regular de \( F \).

(c) Sea \( \mathcal{O}(n) := \{A \in \mathbb{R}^{n \times n}: \ A^TA=\text{Id}_n \} \) el grupo de las matrices ortogonales de tamaño \( n \). Demostrar que \( \mathcal{O}(n) \) es una variedad diferenciable de dimensión \( \dfrac{n^2-n}{2} \)

Tengo problemas para demostrar que \( F \) es \( C^\infty \).
Para calcular \( DF(A)(B) \):
\( \displaystyle DF(A)(B) = \lim_{t \to{0}}{\dfrac{F(A+Bt)-F(A)}{t}} = \lim_{t \to{0}}{\dfrac{(A+Bt)^T(A+Bt)-A^TA}{t}} = \lim_{t \to{0}}{\dfrac{A^TA+A^TBt+B^TtA+B^TtBt-A^TA}{t}} \)
\( \displaystyle=\lim_{t \to{0}}{A^TB+B^TA+B^TBt}=A^TB+B^TA \)

Para la parte (b) tenemos que ver que toda pre-imagen de la identidad no es punto critico.
Veamos cuales son sus pre-imágenes, \( A^TA= \text{Id}_n \Rightarrow A^T=A^{-1} \), comprobemos que los diferenciales de las matrices ortogonales son sobreyectivos, sea \( C \) una matriz ortogonal:
\( DF(C)(B)=C^TB+B^TC=C^{-1}B+B^TC \), dada una matriz \( A \in \text{Sim}_n (\mathbb{R}) \) consideremos \( B=\dfrac{1}{2}CA \) luego \( DF(C)(B)=C^{-1}\dfrac{1}{2}CA +  \dfrac{1}{2}A^TC^TC=\dfrac{1}{2}C^{-1}CA +  \dfrac{1}{2}AC^{-1}C=A \).
Luego \( DF(C) \) es sobreyectivo.

Para la parte (c) por el teorema de la pre-imagen de un valor regular tenemos que \( F^{-1}(\text{Id}_n)=\{A \in \mathbb{R}^{n \times n}: \ A^TA=\text{Id}_n \}=\mathcal{O}(n) \) es una variedad diferenciable de dimensión \( \text{dim}(\mathbb{R}^{n \times n})-\text{dim}(\text{Sim}_n (\mathbb{R}))=n^2-\dfrac{n^2+n}{2}=\dfrac{n^2-n}{2} \)

¿Es correcto el planteamiento?

¿Cómo pruebo que F es C-infinito?

CORREGIDO ERROR GRANDE EN LA PARTE B.

Saludos,
Franco.

10
Cálculo de Varias Variables / ¿Error en el libro? uno-formas
« en: 10 Abril, 2022, 03:15 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Dada la uno-forma \( \omega=\dfrac{xy}{2}dx-\sqrt{yz}dy + (x+z)^\frac{2}{3}dz \) y \( p=(2,-1,3) \). Hallar \( \alpha_p (v_p) \) para los siguientes vectores:

(a) \( \begin{pmatrix}{2}\\{-2}\\{1}\end{pmatrix} \)

(b) \( \begin{pmatrix}{x+y}\\{z-2}\\{xz}\end{pmatrix} \)

Yo creo que hay un typo en el libro y debería de ser "Hallar \( \omega_p(v_p) \)"

\( \omega_{(2,-1,3)}=-dx-i\sqrt{3}dy + 5^\frac{2}{3}dz \)

Aquí también tengo dudas, pues en la sección anterior se definieron las uno-formas como funciones de \( T_p(\mathbb{R}^n)\to \mathbb{R} \)

¿Sera otro error en el libro? Es de "A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds" de Jon Pierre Fortney

Saludos,
Franco.

11
Cálculo de Varias Variables / Función implícita "global".
« en: 09 Abril, 2022, 12:42 am »
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Demostrar que la ecuación \( e^y+y=e^{-2x}-x \) determina una única función \( y = f(x) \) definida para todo \( x \) real. Hallar \( f'(0) \), \( f''(0) \) y \( f'''(0) \).

Considero \( g(x,y)=e^y+y-e^{-2x}+x \), esta función claramente es \( C^1  \) y \( g(0,0)=0 \). Ademas \( \partial_y g(0,0)=e^y +1 \neq 0 \ \forall \  y \in \mathbb{R} \), en particular es invertible en \( (0,0) \) así que podemos aplicar el teorema de la función implícita.

Pero este nos asegura unicamente que podemos definir a \( y \) en función de \( x \) localmente en un entorno del \( 0 \). ¿Como puedo extender esto a un resultado "global"?

Saludos,
Franco.

12
Topología (general) / Base de la topología inicial
« en: 07 Abril, 2022, 08:33 pm »
Buenas a todos,

Me presentaron la topología inicial como sigue:
Sean \( X \) un conjunto y \( \{X_i\}_{i\in I} \) una familia de espacios topológicos. Dada una familia \( \mathcal{F}=\{f_i\}_{i\in I} \) de funciones \( f_i: X \to X_i \) la topología inicial en \( X \) con respecto a \( \mathcal{F} \) es la topología generada por \( S=\{f^{-1}_i(U): U\text{ es un subconjunto abierto de } X_i, \ i\in I \} \)

Quiero probar que \( S \) es efectivamente una base de una topología.
Para eso debo probar que la unión es \( X \) y que dados \( U,V \in S \) y \( x\in U \cap V \) existe \( A \in S \) tal que \( x \in A \subseteq{U \cap V} \).

Para la primera parte es solo notar que \( f_i^{-1}(X_i) = X \) para cualquier \( i \).
Ahora dados dos abiertos \( f_i^{-1}(U) , f_{i'}^{-1}(V) \in S \) y \( x \in f_i^{-1}(U) \cap f_{i'}^{-1}(V) \).

Si \( i=i' \) tenemos que \( f_i^{-1}(U) \cap f_{i'}^{-1}(V) = f_i^{-1}(U \cap V) \) pero aquí ya no se como continuar.

¿Alguna idea para terminar?

Ya encontré mi error, pues S sera subbase de la topología y no base ::).

Saludos,
Franco.

13
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
Se consideran los conjuntos \( \{1, 2\} \times{} \mathbb{Z}^+ \) y \( \mathbb{Z}^+ \times{} \{1, 2\} \) ordenados con el orden lexicográfico.
  • Probar que ambos conjuntos están bien ordenados.
  • Probar que en \( \mathbb{Z}^+ \times{} \{1, 2\} \) todo intervalo es finito pero en \( \{1, 2\} \times{} \mathbb{Z}^+ \) no.
Estoy teniendo problemas en ambos apartados. Primero, ¿Que orden debo considerar para cada conjunto?

No tengo claro como probar en el apartado (2), ¿ debo considerar por ejemplo los intervalos como conjuntos de la forma \( ((a,b) , (c,d) ) = \{ x \in \{1, 2\} \times{} \mathbb{Z}^+ : (a,b) < x < (c,d) \} \) ? Esto seria para el primer ejemplo.

Orden lexicográfico
Dados dos conjuntos ordenados \( (X, >_X ) \) y \( (Y, >_Y ) \), se define en el producto \( X \times{} Y \) el orden lexicográfico o de diccionario como sigue:
\( (x, y) >_{\text{lex}} (x' , y' ) \) si \( x >_X x' \) o bien \( x = x' \wedge y >_Y y' \)
[cerrar]

Saludos,
Franco.

14
Cálculo 1 variable / Encontrar la suma de las series.
« en: 15 Marzo, 2022, 10:36 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Calcular, justificando:
(1) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{n+n^2}{2^n}} \)
(2) \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}} \) (recordar que \( \tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt 3} \) )

Estos ejercicios están "englobados" en el tema de sucesiones/series de funciones / series de potencias.
Se me ocurre que se podrían ver las series como series de potencias (evaluadas en 1) de la forma:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\dfrac{n+n^2}{2^n}x^n} \) e intentar encontrar que función representan.

No se como realizar esta ultima parte.

¿Es una idea posible? ¿Como podría continuar?

Saludos,
Franco.

15
Cálculo 1 variable / Sucesion de funciones no integrable Riemann
« en: 15 Marzo, 2022, 04:54 pm »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( f_n:[0,1] \to \mathbb{R} \) definida por \( f_n(x)= \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\cos(n!\pi x)^{2k}} \). Probar que existe el limite puntual de \( f_n \) pero no es integrable Riemann. (Sugerencia: dividir en dos casos, según \( x \) sea o no racional).

No tengo idea de como comenzarlo, ¿Debería calcular el limite \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\cos(n!\pi x)^{2k}} \)? Y no se como utilizar la sugerencia  :-[.

¿Alguna pista para comenzar?

Saludos,
Franco.

16
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( G: [0, \infty) \to \mathbb{R} \) una función real, que verifica \( G(0) = 1 \), y cumple la ecuación funcional: \( G(x + y) = G(x)G(y) \) para todo \( x \geq 0, y \geq 0 \).
  • Demostrar que \( G(x) = G(1)^x \) para todo \( x \) racional.
  • Demostrar que si además la función \( G(x) \) es decreciente, entonces existe \( \alpha > 0 \) tal que \( G(x) = e^{−\alpha x} \).
  • Concluir que una variable aleatoria que cumple la propiedad (3.34) tiene distribución exponencial.

Propiedad (3.34) : Perdida de memoria
\( P(X > x + y |X > x) = P(X > y) \)
[cerrar]

Estoy teniendo dificultades con el apartado (1). ¿Me podrían dar alguna pista?

Saludos,
Franco.

17
Probabilidad / Demostración de la perdida de memoria.
« en: 22 Diciembre, 2021, 01:41 am »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( X \) una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro \( \alpha > 0 \). Demostrar que
\( P(X > x + y |X > x) = P(X > y) \)
Esta propiedad se denomina pérdida de memoria.

La función de distribución de una exponencial es:
\( F_X(x)=\begin{cases}{1 - e^{-\alpha x}}&\text{si}& x\geq 0 \\0 & \text{si}& x<0\end{cases} \)

Reescribiendo algunas cosas:

\( P(X > y)=1-P(X \leq y) = 1 - F(y) \)

\( P(X > x)=1-P(X \leq x) = 1 - F(x) \)

\( P(X > x + y ) = 1 - P(X \leq x+y)=1-F(x+y) \)

Entonces el enunciado equivale a:

\( 1-F(x+y) = 1 - F(y) \) sabiendo que \( 1 - F(x)=1 \)

\( F(x+y) = F(y) \) sabiendo que \( F(x)=0 \)

¿Es correcto hasta aquí? ¿Cómo puedo continuar?

Saludos,
Franco.

18
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sean \( X \) e \( Y \) variables aleatorias independientes, con densidades respectivas \( p_1(x) \) y \( p_2(x) \). Hallar la densidad de la diferencia \( X − Y \).

Realice lo siguiente:

Como \( X \) e \( Y \) son independientes la densidad del vector aleatorio \( (X,Y) \) es \( p(u,v)=p_1(u)p_2(v) \)

\( F_{X-Y}(x)=P(X-Y \leq x) = P(X-Y \in D) = \displaystyle \int \int_D p(u,v)dudv \) donde \( D=\{(u,v) \in \mathbb{R}^2: u-v \leq x\} \)
\( D \) es la region por encima de la recta de ecuación \( v=u-x \)

Luego \( \displaystyle \int \int_D p(u,v)dudv = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{u-x}^{\infty} p_2(v)dv \right) p_1(u)du \)

Haciendo el cambio \( y=u-v \) nos queda \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{x}^{-\infty} p_2(u-y)dy \right) p_1(u)du = \int_{-\infty}^{\infty}- \left( \int_{-\infty}^{x} p_2(u-y)dy \right) p_1(u)du = \int_{-\infty}^{x}- \left( \int_{-\infty}^{\infty} p_1(u) p_2(u-y)du \right) dy \)

Luego tenemos que la variable aleatoria \( X-Y \) tiene densidad dada por \( \displaystyle - \int_{-\infty}^{\infty} p_1(u) p_2(u-y)du \)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

19
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Consideremos una variable aleatoria \( Y \) con distribución uniforme en el intervalo \( (0, 1) \), y sea \( F(x) \) una función de distribución continua y estrictamente creciente. Demostrar que la variable aleatoria \( F^{−1}(Y) \) tiene función de distribución \( F(x) \).

\( F^{−1} \) denota la función inversa de la función \( F \).

Llamemos \( F^{-1}(Y)=Z \)

\( F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(F^{-1}(Y)\leq z)=P(Y\leq F(z))=F_Y(F(z)) \)

No veo como continuar, y no utilice que Y tenga distribución informe.

¿Tal vez se pueda conectar con el ejercicio anterior?

Saludos,
Franco.

20
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
La variable aleatoria \( X \) tiene función de distribución \( F(x) \) continua y estrictamente creciente. Demostrar que la variable aleatoria \( F(X) \) tiene distribución uniforme en el intervalo \( (0, 1) \)

No tengo idea de por donde comenzar, sobre todo como utilizar el hecho de que \( F(x) \) sea creciente.

Otra duda ¿\( F(X) \) es \( (F\circ{X})(\omega)=F(X(\omega)) \)?

¿Alguna idea para comenzar?

Saludos,
Franco.

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