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Temas - Luis Fuentes

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De oposición y olimpíadas / Oposiciones Galicia 2022 B4
« en: 20 Junio, 2022, 10:23 pm »
Para cada número real \( t \) con \( |t|<1 \) se considera la función compleja, definida por:

\( f(z)=\dfrac{4-z^2}{4-\color{red}4\color{black}tz+z^2} \)

 a) Descomponer \( f(x) \) en fracciones simples.

 b) Obtener la expresión de las derivadas sucesivas de \( f(z) \) para \( z=0 \).

 c) Demostrar que el coeficiente, \( T_n(t) \) de \( z^n \) en el desarollo en serie de Taylor en \( z=0 \) de \( f(z) \) es un polinomio de grado \( n \) en \( t \) y que se cumple la relación de equivalencia:
                        \( 4T_{n+1}(t)-4tT_n(t)+T_{n-1}(t)=0 \)   \( \forall n\geq 2 \).

CORREGIDO

3
De oposición y olimpíadas / Oposición Galicia 2022 B3
« en: 20 Junio, 2022, 10:17 pm »
Sobre un segmento recto se eligen al azar dos puntos cualquiera que lo dividan en tres nuevos segmentos. ¿Cuál es la probabilidad de qué con ellos se pueda formar un triángulo?

4
De oposición y olimpíadas / Oposición Galicia 2022 B1
« en: 20 Junio, 2022, 10:14 pm »
Demostrar que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal.

5
De oposición y olimpíadas / Oposiciones Galicia 2022 A4
« en: 20 Junio, 2022, 08:44 pm »
Una hormiga avanza por las aristas de un icosaedro de modo que, al llegar a un vértice vuelve sobre sus pasos o continua por cualquiera de sus otras aristas que inciden en él, con la misma probabilidad.

Numeramos los vértices del icosaedro del \( 0 \) al \( 11 \) y designamos por \( P_k \) a la probabilidad de que partiendo del vértice \( k \) llegue al polo norte (11) antes que al polo sur (0), es claro que \( P_0 \) y \( P_{11}=1 \). Hallar \( P_k \) para \( k=1,\ldots,10 \).

6
De oposición y olimpíadas / Oposiciones Galicia 2022 A3
« en: 20 Junio, 2022, 12:55 pm »
Dado un subconjunto acotado \( A\subset \Bbb R \), se define el diámetro del conjunto \( A \) como:

\( d(A):=sup\{|x-y||\color{red}x,y\color{black}\in A\} \)

Se considera la siguiente función derivable:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R| \exists M>0 \) con \( |f'(x)|\leq M \)     \( \forall x\in \Bbb R \)

a) Probar que dado \( r>0 \), si \( A \) es tal que \( d(A)\leq \dfrac{r}{M} \) entonces \( d(f(A))\leq r \).

b) Sea \( S\subset \Bbb R \) acotado y supongamos que \( M<1 \).

    Calcular \( \displaystyle\lim_{n \to \infty}{} d(f^n(S)) \) donde \( f^n(S)=\{(f\circ\stackrel{n}{\ldots}\circ f)(x)|x\in S\}. \).

CORREGIDO

7
De oposición y olimpíadas / Oposiciones Galicia 2022 A2
« en: 20 Junio, 2022, 12:49 pm »
Se consideran dos esferas de radios \( r \) y \( R \) tales que la distancia entres sus centros es \( d \). Se sitúa un foco luminoso en la línea que une los centros de ambas esferas. ¿En qué punto habrá que situarlo para que la suma de las superficies iluminadas en ambas esferas sea máxima?.

8
De oposición y olimpíadas / Oposiciones Galicia 2022 A1
« en: 20 Junio, 2022, 12:46 pm »
Sea \( \Bbb Q_0\times \Bbb Q \) siendo \( \Bbb Q_0=\Bbb Q-\{0\} \). Se define en \( G \) la operación:

                     \( (a,b)*(c,d):=(ac,bc+d) \)

a) Demostrar que \( (G,*) \) es un grupo.
b) Demostrar que el conjunto \( S=\{(1,b)|b\in \Bbb Q\} \) es un subgrupo normal de \( G \).
c) Demostrar que \( S \) es isomorfo al grupo aditivo \( \Bbb Q \).

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Hola

 Eparoh comentó aquí, que para demostrar que la unión numerable de numerables es numerable, se usa el axioma de elección numerable.

 Aunque me costó un rato convencerme de ello, tiene toda la razón.

 Entonces mis preguntas son las siguientes.

 1) En la carrera cada vez que usábamos el axioma de elección se subrayaba mucho. De pasada se comentaba que había cierta controversia con él y que no todo el mundillo matemático lo aceptaba. Entonces:

 1.1) ¿Exactamente en qué se basa la controversia con el axioma de elección?. Se me ocurre que su aceptación tiene algún efecto secundario chocante, como la paradoja que de Banach-Tarski, que es una patada a la intuición geométrica.

 1.2) ¿Cuál es la historia de esa controversia? ¿en qué estado está?.

 2) Por el contrario en la carrera por el axioma de elección numerable se pasó de puntillas. En lo que a mi respecta, digamos que lo tengo tan asumido, me parece tan natural, que me cuesta ser consciente de que se utiliza.

 2.1) ¿Hay alguna controversia en la aceptación del mismo?.
 2.2) ¿Tiene algún "efecto secundario" que patee la intuición?.

Saludos.

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De oposición y olimpíadas / LVIII Olimpiada Galicia 2022. Ej4.
« en: 23 Enero, 2022, 11:31 am »
Encontrar todos los polinomios \( p(x) \) con coeficientes reales tales que

\( p(x)+p(y)+p(z)+p(x+y+z)=p(x+y)+p(y+z)+p(z+x) \)

para cualesquiera números reales \( x,y,z \).

19
De oposición y olimpíadas / LVIII Olimpiada Galicia 2022. Ej3.
« en: 23 Enero, 2022, 11:29 am »
Determinar todas las ternas de números reales \( (a,b,c) \) que satisfagan:

\( a+b+c=3 \)

\( 2^a+2^b+2^c=7 \)

\( 2^{-a}+2^{-b}=\dfrac{3}{4} \)

20
De oposición y olimpíadas / LVIII Olimpiada Galicia 2022. Ej1.
« en: 23 Enero, 2022, 11:28 am »
En una fila hay \( 2022 \) personas. Cada una de ellas o siempre miente o siempre dice la verdad. Todas ellas afirman: "hay más personas a mi izquierda que mienten que a mi derecha que digan la verdad". Determinar cuántas de estas personas mienten.

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