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Mensajes - franma

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Cálculo 1 variable / Re: Sucesiones
« en: 25 Julio, 2022, 04:20 am »
Buenas JoseJ :)

Bienvenido al foro!

¿Que puedes decir sobre la sucesión: \( 1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},... \)?

Saludos,
Franco.

2
Buenas a todos,

Creo que he dado con la solución, aunque no quería trabajar en coordenadas debí hacerlo para hacer el ejercicio.
Tenemos \( h=\psi^{-1}\circ \phi \) luego observemos que \( \phi=\psi \circ h \) ahora usando la regla de la cadena:
\( D\psi(h(x))Dh(x)=D\psi(y)Dh(x)=D\phi(x) \)
Evaluando en \( e_i  \) en ambos lados:
\( D\psi(y)Dh(x)e_i=D\phi(x)e_i \)

\( D\psi(y)\dfrac{\partial h}{\partial x_i}(x)=\dfrac{\partial \phi}{\partial x_i}(x) \)

\( \displaystyle\sum_{j=1}^m \dfrac{\partial \psi}{\partial y_j}(y)\dfrac{\partial h_j}{\partial x_i}(x)=\dfrac{\partial \phi}{\partial x_i}(x) \)

\( \displaystyle\sum_{j=1}^m \dfrac{\partial h_j}{\partial x_i}(x)\dfrac{\partial \psi}{\partial y_j}(y)=\dfrac{\partial \phi}{\partial x_i}(x) \)

Aqui finalmente se puede observar que la matriz de cambio de base es \( \left( \left( \dfrac{\partial h_j}{x_i}(x)\right) \right)_{j,i} \)

Saludos,
Franco.

3
Buenas a todos,

Estoy intentando probar que dada una variedad orientable (cubrimiento por parametrizaciones con determinante del jacobiano del cambio de cartas positivo) la orientación inducida en los tangentes esta bien definida, es decir, dado \( p \in M \) y \( \phi: U \to M \) , \( \psi : V \to M \) parametrizaciones con \( \phi(x)=\psi(y)=p \) entonces las siguientes bases del tangente (\( T_pM \)):
\( \{D\phi(x) e_1,...,D\phi(x) e_m\} \) y \( \{D\psi(y) e_1,...,D\psi(y) e_m\} \) tienen la misma orientación (el determinante del cambio de base es positivo).

He estado intentando encontrar la matriz de cambio de base a partir de los cambios de cartas:
\( h:U \to V \) dada por \( h=\psi^{-1}\circ \phi  \)
y \( g:V \to U \) dada por \( g=\phi^{-1}\circ \psi \)

Es decir, busco una T.L \( A:T_pM \to T_pM \) tal que \( A(D\phi(x)e_i)=D\psi(y)e_i \)

Pero no logro dar con la misma :banghead:.

¿Alguna ayuda?

Corregido.

Saludos,
Franco.

4
Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Funciones Generatrices
« en: 22 Julio, 2022, 04:33 am »
Buenas sxemi :)

Recuerda que \( 1+x+x^2+x^3+\cdots = \dfrac{1}{1-x} \) luego derivando ambos lados de la igualdad tenemos que:
\( 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots = \dfrac{1}{(1-x)^2} \)
Escribiéndolo de una forma mas compacta \( \dfrac{1}{(1-x)^2} = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{nx^{n-1}} \).

Ahora que tenemos esto observa que llamando \( u=-5x \) tenemos:
\( \displaystyle\frac{1}{(1-u)^2}=\sum_{n=1}^\infty{nu^{n-1}}=\sum_{n=1}^\infty{n(-5x)^{n-1}}=\sum_{n=1}^\infty{n(-5)^{n-1}x^{n-1}} \)

¿Puedes concluir?

Saludos,
Franco.

5
Buenas JoaquiNigro  :),

Primero que todo, bienvenido al foro!
Tienes que colocar el código entre las etiquetas [tex]  [/tex] para que se vea bien la matemática.

Respecto al problema:
Spoiler
\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \) entonces \( f(x) \) es una función nula en el intervalo \( [a, b] \)
[cerrar]

Toma \( [a,b]=[-1,1] \) y \( f(x)=x \), ¿Qué puedes decir al respecto?

Saludos,
Franco.

6
Cálculo 1 variable / Re: Duda puntual acerca infinitésimos
« en: 18 Julio, 2022, 09:54 pm »
Buenas Beautyofmaths :),

Lo puedes deducir o bien calculando manualmente el limite:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\dfrac{e^x}{x+1}} \)
y comprobando que efectivamente da 1.

O viendo los primeros dos términos del desarrollo de Taylor de \( e^x \) alrededor del 0.
\( e^x=1+x + \ldots \)

Saludos,
Franco.

7
Cálculo 1 variable / Re: Límite con L'Hôpital
« en: 18 Julio, 2022, 02:10 pm »
Buenas Beautyofmaths :),

Recuerda la formula para diferencia de senos: \( \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\left( \dfrac{\alpha+\beta}{2} \right) \sin\left( \dfrac{\alpha-\beta}{2} \right)  \)

Luego:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{\sin(x^2\cos^2\theta)-\sin(x^2\sin^2\theta)}{x^2(\cos\theta-\sin\theta)}}=\dfrac{1}{(\cos\theta-\sin\theta)}\lim_{x \to{0}}{\frac{2\cos\left( \dfrac{x^2cos^2\theta+x^2\sin^2\theta}{2} \right) \sin\left( \dfrac{x^2cos^2\theta-x^2\sin^2\theta}{2} \right)}{x^2}} \)

Ahora recuerda que \( \cos^2\theta-\sin^2\theta = \cos2\theta \):

\( =\displaystyle \dfrac{2}{(\cos\theta-\sin\theta)}\lim_{x \to{0}}{\frac{\cos\left( \dfrac{x^2}{2} \right) \sin\left( \dfrac{x^2\cos2\theta}{2} \right)}{x^2}}=\dfrac{2\cos2\theta}{(\cos\theta-\sin\theta)2}\lim_{x \to{0}}{\frac{\cos\left( \dfrac{x^2}{2} \right) \sin\left( \dfrac{x^2\cos2\theta}{2} \right)}{2^{-1}x^2\cos2\theta}}=\dfrac{\cos2\theta}{(\cos\theta-\sin\theta)} \)

Simplificando \( \dfrac{\cos2\theta}{(\cos\theta-\sin\theta)}=\dfrac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{(\cos\theta-\sin\theta)}=\cos\theta+\sin\theta \)

Llego al mismo resultado que tu 8^). Deberá de estar mal la solución.

PD: Ya pasara otro y nos dirá que tal.

Saludos,
Franco.

8
Geogebra / Re: Función Trigonométrica
« en: 16 Julio, 2022, 05:56 pm »
Buenas petras :),

Si entendí correctamente solo debes escribir \( 20-5\sin\left( \dfrac{(x-a)\pi}{10} \right) \) y darle a la tecla "Enter". Automáticamente se generara una barra deslizable con la que puedes ajustar el valor de "a" y la gráfica se actualizara automáticamente.

Saludos,
Franco.

9
Buenas alumnolibre :),

Si $$T: P_2\rightarrow{\mathbb{R}^{\color{red}{2}}}$$ tal que $$T: ax^2+bx+c=(a+b,a+c,a-b)$$. (...)

¿Estas seguro que lo rojo esta correcto? Porque luego indicas que su imagen cae en \( \mathbb{R}^3 \). (A partir de aquí asumo que \( T: P_2\rightarrow{\mathbb{R}^{3}} \))

(...) Para determinar el núcleo hice lo siguiente: como $$N(T)=0$$ (...)

El núcleo de una transformación lineal \( T \) es \( N(T)=\{v\in V : T(v)=0\} \)

(...) entonces $$a+b=0$$, $$a+c=0$$, $$a-b=0$$ de donde tengo que: $$a=b=c=0$$.

Entonces el núcleo de $$T$$ sería el vector $$(0,0,0)$$??

Correcto, lo que se corresponde al polinomio nulo en \( P_2 \).

(...) y para el recorrido y nulidad no he sabido por donde empezar.

Generalmente se le llama nulidad a la dimensión del núcleo, como bien has calculado \( N(T) \) esta formado solamente por el vector nulo, luego, ¿cuál es su dimensión?

Recuerda que el recorrido de \( T \) es su imagen, es decir, si tienes \( T:V\to W \) entonces \( Im(T)=\{w\in W: \exists v\in V / T(v)=w\} \)

Si ya has dado el teorema de las dimensiones, entonces aplícalo. Si no, comprueba que \( Im(T)=\mathbb{R}^3 \) comprobando que cualquier vector de \( \mathbb{R}^3 \) puede ser expresado como imagen de un polinomio en \( P_2 \).

Cualquier otra duda vuelve a consultar.

Saludos,
Franco.

10
Buenas Beautyofmaths  :),

(...)
b)Topología del punto incluido: \( T^p=\{X\}\cup\{B\subset{X}: p \not\in B\} \)
(...)

Ahí querías decir excluido, ¿no? ;D

Te ayudo con el primero, aunque no me queda claro si quieres una base de cerrados o de abiertos, de todas maneras recuerda el complemento de una base de cerrados es base de abiertos y viceversa.

a)Topología del punto incluido: \( T_p=\{\emptyset\}\cup\{B\subset{X}: p \in B\} \)

¿Que puedes decir acerca del conjunto \( \mathcal B=\{\{x,p\}: x\in X \} \)? ¿Puedes escribir cualquier elemento de la topología como unión de sus elementos?

Agrego: Para la del punto excluido: ¿que puedes decir del conjunto \( \mathcal C =\{X  \} \cup \{\{x\}: x\in X{\setminus} \{p\} \} \)?

Saludos,
Franco.

11
Buenas Luis, martiniano :)

Está bien; sólo un detalle. Al final debería de ser:

\( (-a,a)\color{red}\setminus K\color{black}\cap (c,a)\neq \emptyset \)

Saludos.

Muchas gracias por revisarlo :D.

(...)
Disculpa. No te estoy entendiendo. En cualquier caso \[ K \] no está dentro de ese abierto. Dicho abierto no contiene ningún \[ \displaystyle\frac{1}{n} \].
(...)

Perdona martiniano, me equivoque :-[.
Me refería a por ejemplo, un abierto que contiene a \( K \) como este:
\( \displaystyle (\dfrac{95}{100},2) \cup \bigcup_{n\geq 2} \left(\dfrac{1}{4(n+1)}+\dfrac{3}{4n}
, \dfrac{1}{4n} + \dfrac{1}{4(n+1)} + \dfrac{1}{2(n-1)} \right) \)

(Son un montón de intervalos disjuntos que cada uno contiene a un 1/n)

En este abierto no entra uno básico que contenga a K.

Saludos,
Franco.

12
Buenas martiniano :)

Sí, bueno, a ver, es que en realidad basta considerar los abiertos básicos (...)

¿Esto como lo justificamos? Perdona pero no lo veo  :-[. (*)

¿Cómo lo ves? Un saludo.

Obviando la duda de arriba lo veo bien, además el procedimiento del caso 2 sirve también para el caso 1, ¿No?

(*) Por ejemplo \( \displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \left\{ \left(\dfrac{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n} }{2} , \dfrac{1}{n} \right) \right\} \) es un abierto que contiene a \( K \) y podemos achicar los intervalos que contienen a cada \( 1/n \) para que no contengan el punto medio y no funcione nuestro metodo.

Agrego: Pensándolo un poco mas, dados 2 abierto \( A,B \) tales que \( 0\in A \) y \( K\subset B \) podemos realizar el siguiente procedimiento.
Primero podemos asegurar la existencia de un \( a\in \mathbb{R}^{>0} \) tal que \( (-a,a){\setminus} K \in A \).
Luego podemos encontrar un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( \frac{1}{N}\in (-a,a) \), mas en particular \( \frac{1}{N}\in (0,a) \), pero es claro que \( \frac{1}{N} \in B \) luego podemos encontrar \( c,d\in \mathbb{R}^{>0} \) tales que \( \frac{1}{N} \in (c,d) \subset B \), (esta claro que no puede ser el otro tipo de básico).
Ahora notemos que \( c<\frac{1}{N}<a \) luego \( (-a,a)\cap (c,a)\neq \emptyset \) y por consecuencia \( A\cap B\neq \emptyset \).

¿Sera correcto?

Saludos,
Franco.

13
Buenas martiniano :)

Un caso si el abierto es de la forma \[ (c, d)  \] menos un subconjunto finito de \[ K \]

¿No es siempre el caso que el abierto es \( (c,d) \) menos un subconjunto infinito de \( K \)?
Podemos encontrar \( N_1 \in \mathbb{N} \) tal que \( 1/N_1 \in (0,d) \), luego podemos encontrar \( N_2 \in \mathbb{N} \) tal que \( 1/N_2 \in (0,1/N_1) \). Y así continuar.

Hola

(...) la topología generada por los intervalos \( \{(a,b) : a,b\in \mathbb{R}\} \) (...)

Cuando hablas del conjunto de los intervalos, ¿no debería cumplirse que además de ser reales, sea \( a<b \)? ¿O \( a\leq b \)? Para que tenga sentido digo yo.

Saludos

Creo que se sobreentiende al hablar de intervalos, al menos para mi.

Saludos,
Franco.

14
Buenas a todos,

Estoy intentando ver que \( \mathbb{R} \) con la K-topología, esto es, la topología generada por los intervalos \( \{(a,b) : a,b\in \mathbb{R}\} \) y los intervalos sin \( K \), \( \{(a,b)\setminus K : a,b\in \mathbb{R} \} \) donde \( K=\{1/n:n\in \mathbb{N} \} \)

Se que la idea es probar que el \( 0 \) y \( K \) no pueden ser separados por abiertos, pero no logro encontrar como comenzar.

¿Alguna pista o idea?

Saludos,
Franco.

15
Buenas mafr,

El polinomio característico de A es \( P(\lambda)=\begin{vmatrix}{a-\lambda}&{b}\\{c}&{d-\lambda}\end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=ad-\lambda a -\lambda d +\lambda^2-bc=\lambda^2+\lambda(- a-d)+(ad-bc) \)

Sus raíces son: \( x_1=\dfrac{(a+d)+ \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2} \) y \( x_2=\dfrac{(a+d)- \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2} \)

La matriz tendrá 2 valores propios diferentes si el polinomio característico tiene 2 raíces diferentes.
¿Puedes concluir?

Saludos,
Franco.

16
Buenas Beautyofmaths  :)

Ah, cierto \( \textbf{franma} \), la intersección sería el conjunto unitario \( \{0\} \), que es cerrado por contener al único punto frontera que tiene, ¿verdad?

Si, es correcto.

Saludos,
Franco.

17
Buenas Beautyofmaths :),

¿Qué puedes decir acerca de \( \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n \) con \( A_n=\left(-\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \right) \) en \( \mathbb{R} \)?

Saludos,
Franco.

18
Buenas Sintesis  :),

No veo de donde has sacado esas integrales para calcular la integral en cuestión.

Consideremos las siguientes curvas para parametrizar el rectangulo:
\( \gamma_1(t)= (1-t)(0,0) + t(5,0)=(5t,0) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_2(t)= (1-t)(5,0) + t(5,4)=(5,4t) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_3(t)= (1-t)(5,4) + t(0,4)=(5(1-t),4) \) con \( t\in[0,1] \)
\( \gamma_4(t)= (1-t)(0,4) + t(0,0)=(0,(1-t)4) \) con \( t\in[0,1] \)

Luego por comodidad llamemos \( F(x,y)=(y^2,x^2y) \), la integral pedida es:
\( \displaystyle\int_C F = \sum_{i=1}^4{\int_{0}^{1}\left<{F\circ \gamma_i (t),\gamma_i ' (t)}\right>dt} \)
\( \displaystyle=\int_{0}^{1}\left<{(0,0),(5,0)}\right>dt + \int_{0}^{1}\left<{ (16t^2,100t),(0,4)}\right>dt +\int_{0}^{1}\left<{ (16,100(1-t)^2),(-5,0)}\right>dt+\int_{0}^{1}\left<{ (16(1-t)^2,0),(0,-4)}\right>dt \)
\( \displaystyle= 0 + \int_{0}^{1} 400tdt + \int_{0}^{1} -80dt + 0 = 200-80 = 120 \)

Saludos,
Franco.

19
Buenas mafr,

Recuerda que para verificar que \( W \) es un subespacio vectorial de \( V \) te basta con comprobar que:
  • \( \vec{0} \in W \)
  • Si \( v,w\in W \) entonces \( v+w\in W \)
  • Si \( v\in W \) y además \( \lambda \in \mathbb{K} \) entonces \( \lambda v \in W \)

Te ayudo con la suma: Si \( x_1,x_2\in S \), veamos que pasa con su suma (aplicando \( A \)): \( A(x_1+x_2)=Ax_1 + Ax_2 = \vec{0} + \vec{0}=\vec{0} \)

¿Puedes terminar?

Saludos,
Franco.

20
Cálculo de Varias Variables / Re: Teorema de Stokes
« en: 30 Junio, 2022, 12:06 am »
Buenas zorropardo :),

Algo rápido:
Spoiler
Se entiende que el cilindro estará relleno y la esfera hueca, claro, para que la intersección sea una superficie.

Luego tenemos:
\( (x-a)^2+y^2+z^2=a^2, z>0, \)
\( (x-b)^2+y^2\leq b^2 \)

Luego parametrizamos el cilindro en el suelo y levantamos acordemente.
\( \varphi(r,\theta)\mapsto (r\cos\theta + b,r\sin\theta,a^2-(r\cos\theta + b-a)^2+r\sin^2\theta) \)
con \( 0\leq r \leq b \) y \( 0\leq \theta \leq 2\pi \)
[cerrar]

Saludos,
Franco.

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