En una heladería venden 7 tipos de helados. ¿De cuantas formas se puede hacer un pedido de: (i) 12 helados; (ii) 12 helados pero con al menos uno de cada tipo?

Hola FrancoMonse. ¿Intentaste aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para hallar las derivadas de \( F \), y luego el criterio de la primera derivada?

No sabía como encarar el problema. Ahora pruebo a ver que resultado me da. Desde ya, muchas gracias!

Considerar la función f(x) = \( \left |{x^2-1}\right | -1  \)\( =\begin{cases} x^2-2 & \text{si}& \left |{x}\right |\geq{1}\\-x^2 & \text{si}&\left |{x}\right |<1\end{cases}  \)
a) Hallar dominio y graficar dicha función
b) Mostrar que no existe \( f^{\prime}(1) \)
c) obtener la función h(x)=g(f(x)) donde g(x)=\( \sqrt[ ]{x} \) y hallar su dominio.
d) Graficar h(x)

Estudie la convergencia o divergencia de:
i)\(  \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \) \( ln \displaystyle\frac{n+1}{n} \)

ii)\( \displaystyle\int_{1}^{\infty} \) \(  ln \displaystyle\frac{x+1}{x} dx \)

Hola

Cita de: FrancoMonse en 20 Febrero, 2018, 09:35 pm

Suponga conocida \( \displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} x^n, \left |{x}\right | <1 \) pruebe las siguientes igualdades.

i) \(  f (x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+2}}{2n+1}, \left |{x}\right | <1 \)

Aquí no sé que igualdad quieres probar porque no dices quien es \( f(x) \).

Si quieres sumar esa serie nota que:

\( f(x)=xg(x)  \)

con

\( g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \)

\( g'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\dfrac{1}{1+x^2} \)

Termina...

Citar

ii)\( \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^n\displaystyle\frac{1}{(2n+1)^{3n+1}}=\displaystyle\frac{\widetilde{ll}}{6\sqrt[ ]{3}} \)

No sé si \( \widetilde{ll} \) quiere decir \( \pi \). En ese caso escribe [tex]\pi[/tex].

Si es ese el significado esa igualdad es falsa.

Saludos.

P.D. Además revisa que el índice que usas en los límites de los sumatorios sea coherente con el que usas en el término que sumas.

Hola. La primer parte la entendí. En la segunda consigna cómo se llega a algún resultado, es decir, cómo desarrollo esa serie para llegar a su resultado?  Desde ya, muchas gracias!

Sea R la región limitada por la parábola \( y=x^2-4 \) y la recta \(  y=x-2 \). Exprese mediante integrales definidas (no calcule):
a) el área de R;
b) el volumen del sólido generado por R al girar alrededor de la vertical \( x=-1 \)

Lo que yo interpreté de este ejercicio al ver su grafico es que se intersectan en -1 y 2, lo que eso sería sus extremos de la integral, lo que no me queda claro es que si la recta está por encima de la parábola, o se debe mirar de izquierda a derecha. En la mayoria de los ejercicios me equivoco por esta razón.

La integral que yo considero es:
a)\( \displaystyle\int_{-1}^{2}(x-2)-(x^2-4)dx \)
b) \( \displaystyle\int_{-1}^{2}(\sqrt[ 2]{y+4})^2 - (y+2)^2dy \)

Hola:

Cita de: FrancoMonse en 29 Enero, 2018, 09:51 pm

Si los términos de la sucesión \( b_0=2,b_1,b_2,....,b_n... \)satisfacen la relación \( \color{red}b_n=b_(n/2) + n^2  \)para todo \( n\geq{1} \) entonces la desigualdad \(  b_n<4n^2  \) se cumple para todo \( n\geq{1} \).

No me queda claro cual es la expresión de \( b_n \), parece que quieres usar el subíndice ,pero si quieres agrupar varios caracteres en el subíndice debes encerrarlos entre {} por ejemplo \( b_{23} \) , se escribe como [tex][tex]b_{23}[/tex][/tex]

Pero no me cuadra, si quieres poner \( b_n=b_{n/2}+n^2 \) no tiene sentido para indices impares es decir para n impares.

Creo que debes corregir la expresión que puse en rojo.

Saludos.

Hola. Estuve revisando el enunciado junto alumnos de mi clase y  representantes de cátedra, y llegamos a la conclusión de que al enunciado le faltaba información, comparandolo con el libro de donde fue extraído. (No se si será información útil para la resolución del ejercicio)
No he encontrado la opción para poner piso, es decir aquél entero que no supera, en este caso, a \( \displaystyle\frac{n}{2} \) de la expresión \( b_n=b_{\displaystyle\frac{n}{2}}+n^2 \)

Obtenga \( f^{\prime} \) a partir de la siguiente ecuación:
\( 2f (x) -\displaystyle\int_{0}^{x} sin (\displaystyle\frac{1}{t^3+1})dt-x^2=1  \)

Sea R la región limitada por las parábolas \( y=x^2+2x \) e \(  y=-x^2+4 \) .Exprese mediante integrales definidas (no calcule)
i) el área de R
ii) el volumen del sólido generado por R al girar alrededor de la horizontal y= -1

Sea  \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} \)

i) Muestre que f es una solución de la ecuación diferencial \( x^2 y''+y=1-x^2 \)


Lo que intenté fue derivar la serie dos veces y luego reemplazar, pero me queda algo muy largo. No sé si estaré procediendo bien.