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Mensajes - Luis Fuentes

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1
Cálculo de Varias Variables / Re: Analizar una función
« en: Ayer a las 11:51 am »
Hola

Para ver la continuidad en \( \mathbb{R}^2\setminus\{ejes\} \), sería así:
Sea \( (x_0,y_0)\in G=\mathbb{R}^2\setminus\{ejes\} \) y \( \epsilon>0 \), como \( G \) es abierto, existe \( \delta>0 \) tal que \( B_{\delta}(x_0,y_0)\subseteq G \). Así, si \( (x,y)\in\mathbb{R}^2\cap B_{\delta}(x_0,y_0)  \), entonces \( |f(x,y)-f(x_0,y_0)|=0<\epsilon \). De esta manera queda mostrada la continuidad en los puntos que no están sobre los ejes .
Luego, en \( (1,0) \) tenemos que \(
|f(x,y)-f(1,0)|\in\{0, |x-1|,|y-1|\}
 \)
según el punto \( (x,y) \), pero de cualquier manera se cumple que
\( |f(x,y)-f(1,0)|\leq 2||(x-1,y)|| \), por lo que dado cualquier \( \epsilon>0 \), tomando \( \delta=\frac{\epsilon}{2} \) se satisface la definición de continuidad. El caso \( (0,1) \) es completamente análogo. ¿Es correcto?

Bien.

Citar
Ahora, en los puntos sobre los ejes diferentes de los analizados, si tomo \( (x_0,0) \) con \( x_0\neq 1 \), entonces \( f(x_0,0)=x_0\neq 1 \), me gustaría encontrar un \( \epsilon \) particular para el cual sin importar el \( \delta \), haya algún punto \( (x,y) \) que cumpla que \( ||(x-x_0,y)||<\delta \),  pero \( |f(x,y)-f(x_0,0)|\geq\epsilon \), ¿Cómo podría hacerlo?

Pues ten en cuenta que para cualquier \( y \) no nulo, \( f(x_0,y)=1 \) y por tanto:

\( |f(x_0,y)-f(x_0,0)|=|1-x_0| \)

Por tanto basta que tomes \( \epsilon=|1-x_0|/2 \), por ejemplo.

Saludos.

2
Hola

3-\( E_n(x)=F'(\xi)(x-a) \)
\( \therefore{F'(\xi)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot{\dfrac{(x-a)^{n+1}}{(x-a)}}=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^n} \)

La derivada \( F' \) está mal. Te queda (si haces las cuentas con cuidado):

\( F'(t)=\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1)}(t) \)

Saludos.

3
Hola

4. Cada puntuación, es una variación con repetición, de trece valores tomados de tres
en tres.

¿Cómo lo intepretais y porque? ¿Hay alguna razón por la que deba de interpretarse como una variación y no como una combinación?

Por reincidir en lo dicho por Richard, es una cuestión subjetiva. El enunciado es confuso.

No está claro si por "resultados diferentes" se refiere a las distintas puntuaciones en cada tirada pero sin importar el orden, importando el orden o incluso a la suma.

No te rompas mucho la cabeza con eso.

Saludos.

4
Foro general / Re: Otro acertijo
« en: Ayer a las 11:12 am »
Hola

   De los que suelo semi-odiar  :)

https://www.lavanguardia.com/cribeo/viral/20220814/8456302/profesor-matematicas-revoluciona-redes-planteando-problema-imposible-mmn.html

 Pues si...

 
Spoiler
Podría ser \( x+y:=x(y+1) \). Pero como siempre podría haber infinidad de criterios...

 Habrá gente incauta que piense que existe LA respuesta correcta.
[cerrar]

Saludos.

5
Hola

Ojo con el segundo.

Spoiler
Esta vuelta han venido un tanto más faciles

2, los números son 1,2,3,4,5,9,9

El cuarto número debe de ser \( 7 \). En otro caso el promedio no sería \( 5 \).
[cerrar]

Saludos.

6
Hola

Lo primero que se me ocurrió fue definir el universo que es #S=1155 pero pensándolo bien, se me ocurrió que si ese fuera el universo, no podria realizar la negación de las condiciones y encontrar lo que pide el ejercicio, asi que supuse que se podria "tomar" como universo todos los multiplos de 3 de 1155 que son 385 y luego con el principio de inclusión-exclusión excluir o eliminar los que son multiplos de 5,7 y 11, y luego de eliminarlos como implícitamente todos los elementos del universo son multiplo de 3, entonces obtendría el resultado del ejercicio, que yo llegue a que es 240 (puede que este mal).

Está bien.  Y es la forma más razonable de hacerlo.

Tu puedes tomar el universo que te da la gana; si sólo buscas múltiplos de 3, es lógico que ese sea tu "universo".

Saludos.


7
Matemática de Escuelas / Re: Proporcionalidad
« en: Ayer a las 10:52 am »
Hola

 Una forma cómoda puede ser usar que si \( (a,b,c) \) es una concentración combinación lineal de las dadas entonces:

\(  det\begin{pmatrix}a&b&c\\1 &2 &3\\3&4&5\\\end{pmatrix}=0\quad \leftrightarrow\quad
-2a+4b-2c=0\quad \leftrightarrow\quad a-2b+c=0  \) (*)

 Entonces cualquier posible combinación de ambas mezclas ha de cumplir la ecuación anterior.

 El problema que eso incluye la posibilidad de tomar cantidades negativas de ambas. Pero para evitar esto basta tener en cuenta que la proporción \( (a:b) \) debe de estar comprendida entre las dos originales, es decir:

\(  \dfrac{4}{3}\leq \dfrac{b}{a}\leq \dfrac{2}{1} \) (**)

 En las respuestas dadas todos cumplen (*), pero sólo la (b) cumple (**).

Saludos.

8
Hola

Buenos días FORO! buen cominezo de semana a todos!!  ;)

Necesito de vuestra gran ayuda, por favor, con las siguientes dudas.

Sea la T.L. que a cada punto del espacio le hace corresponder su simétrico respecto al plano \( \pi: x-y+2z=0 \) paralelamente a la recta \( L:\displaystyle\frac{x-1}{-2}=y-2=\displaystyle\frac{z+1}{-2} \)...

¿Ese enunciado es absurdo o aquí me estoy perdiendo algo? :-\

El simétrico de un punto respecto a un plano y paralelamente a una recta, es el punto cuyo punto medio con el original pertenece al plano y la recta que une uno y otro es paralela a la recta dada.

Saludos.

9
Matemática de Escuelas / Re: Prisma Regular
« en: Ayer a las 10:41 am »
Hola

 Por completar la idea de marek. Tienes que si el lado del prisma es \( x \) su área lateral es:

\(  3x^2=12 \)

 de donde \( x=2 \).

 Entonces:

\(  KD^2=x^2+(2.5\cdot x)^2=4+25=29 \)

Saludos.

10
Teoría de Conjuntos / Re: Intersección de dos conjuntos
« en: Ayer a las 10:38 am »
Hola


Como \( |A\cup B|=11 \) significa que \( a+b+c=11 \).

Como \( |B-A|=6 \) significa \( c+d=6 \).

No. Ojo. \( B-A=B\cap A^c \) y por tanto \( |B-A|=6 \) significa \( c=6 \).

Lo análogo con \( A-B \). Por tanto concuerdo con lagertex, es que con esos datos el problema no tiene solución; está mal enunciado. No existen conjuntos en esas condiciones.

Saludos.

11
Hola

Hola buenas, he estado intentado hacer analizar la continuidad y diferenciabilidad de la función:
\( f(x,y)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             y^2+x^2sen(\frac{1}{x}) &   si  & x \neq 0 \\
             y &  si  & x= 0
             \end{array}
   \right. \)
Respecto a la continuidad, he visto que es continua en todo \( (x,y) \) con \( x \neq 0 \) además de en los puntos \( (0,0) \) y \( (0,1) \). Así, ya se puede determinar también que no será diferenciable seguro en los puntos \( \{(0,y)|y \neq 0 \wedge y \neq 1\} \).

Bien.

Citar
En cuanto a la diferenciabilidad, como parecía costoso usar la definición, he calculado las derivadas parciales (para \(  x \neq 0 \) usando las reglas de derivación y para \( x=0 \) con la definición y me ha dado que existen y son continuas en todos los puntos del conjunto \( (x,y)| x\neq0 \), con lo que en todos estos puntos es diferenciable.

Si. De hecho en el abierto \( \{(x,y)\in \Bbb R^2|x\neq 0\} \) está definida como \( f(x,y)=y^2+xsin(1/x) \) que es diferenciable por ser suma, producto, composición,... de funciones diferenciables.

Citar
Finalmente, he intentado ver si se cumplía la definición de diferenciabilidad en \( (0,0) \) y en \( (0,1) \) pero me ha salido que no.

En el \( (0,0) \) se puede ver que la parcial respecto a \( x \) es nula y respecto a \( y \) es \( 1 \). Por tanto si fuese diferenciable, la diferencial debería de ser \( df_{(0,0)}(u,v)=(0,v) \). Equivalentemente el siguiente límite debería de ser nulo:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}{}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

En los puntos con \( x=0 \) se cumple; en los puntos con \( x\neq 0 \) el límite queda:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}{}\dfrac{y^2+x^2sin(1/x)-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

y se puede ver que:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}{}\dfrac{y^2+x^2sin(1/x)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \)

pero

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}{}\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

no existe. Por tanto efectivamente no es diferenciable.

En el punto \( (0,1) \) las dos parciales serían de nuevo \( 0 \) y \( 1 \). Habría que analizar el límite de nuevo:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,1)}{}\dfrac{f(x,y)-f(0,1)-y}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \)

De nuevo para \( x=0 \) se cumple; y cuando \( x\neq 0 \) queda:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,1)}{}\dfrac{x^2sin(1/x)+y(y-1)}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \)

y se puede ver que el límite no existe.

Saludos.

12
Hola

Citar
II) Se cumple (3): Si se cumple (2) (c) (es decir es cerrada para unión de CUALQUIER FAMILIA NUMERABLE de conjuntos de \( A \)), entonces es cerrada para la unión de una familia creciente de conjuntos (que sea creciente, no es indiferente, porque de hecho la cerradura es cierta para CUALQUIER familia numerable) y por tanto se cumple (3).

Sé que he molestado mucho con esta demostracion pero puedes explicarme más claro esta parte por favor?

Puedes preguntar cuantás veces sea necesario: nunca molestas por ello.

Pero sería mucho más fácil ayudarte si no te limitases a pedir mayor claridad, sino que además explicases exactamente qué entiendes y que no entiendes de lo dicho. Detallases al máximo tu duda.

Sinceramente sin que especifiques más, no se muy bien como contar lo de arriba de otra manera.

1- Queremos probar que la familia es cerrada para uniones de sucesiones crecientes de conjuntos.
2- Sabemos que la familia es cerrada para uniones de sucesiones de cualquier tipo de conjuntos.
3- Por tanto si sabemos si es cerrada para uniones de sucesiones de cualquier tipo, con más razón sera cerrada para uniones de un tipo particular.

No sé; es como si tenemos un vehículo que puede ir por tierra, aire y mar y nos dicen, ¿servirá para ir por el mar?. Pues si, sirve para muchas otros medios, pero en particular sirve para ir por mar.

Saludos.

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Matemática de Escuelas / Re: progresiones geométricas ESO
« en: 14 Agosto, 2022, 09:35 pm »
Hola

así que variando \( n \) puedo tener infinitas ternas con cada razón  diferente de la progresión.

Ojo; obtienes infinitas posibilidades para \( a_0 \), pero no para los tres números que están en progresión geométrica que siempre serán \( 1,5,25 \).

Saludos.

14
Hola

Queridos compañeros del foro, Alguien me puede indicar por qué está pertenencia del final es correcta?
Luego
Citar
\( f^{-1} [ \bigcup _{n \in{}N}E_n  ] = \bigcup _ {n \in{}N} f ^ {-1} \ (E_n ) \in{} f^{-1} \ ( \xi ) \)

Es que aunque en esencia es lo mismo, se entiende mejor si se ordena así:

\( \bigcup _ {n \in{}N} f ^ {-1} \ (E_n ) =f^{-1} [ \bigcup _{n \in{}N}E_n  ] \in{} f^{-1} \ ( \xi ) \)

Ya que lo que se quiere probar es que \( \bigcup _ {n \in{}N} f ^ {-1} \ (E_n )\in f^{-1}(\xi) \), utilizando que cada \( f^{-1}(E_n)\in f^{-1}(\xi) \), es decir, que cada \( E_n\in \xi \).

Como \( \xi \) es por hipótesis una sigma álgebra entonces \(  \bigcup _{n \in{}N}E_n\in \xi \) y por tanto \( f^{-1} [ \bigcup _{n \in{}N}E_n  ] \in{} f^{-1} \ ( \xi ) \).

Saludos.

15
Cálculo de Varias Variables / Re: Analizar una función
« en: 14 Agosto, 2022, 12:31 pm »
Hola

Sea \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \), dada por
\(
f(x,y)=
\begin{cases}
x+y&\text{si }x=0\text{ ó }y=0\\
1 & \text{otro caso}
\end{cases}
 \)
Determine:
a) Los puntos de continuidad.

¿Qué has intentado?.

El abierto \( \Bbb R^2-\{ejes\} \) la función es constante luego es continua.

Los puntos conflictivos son sobre los ejes; comprueba que en ese caso sólo es continua en los puntos \( (1,0) \) y \( (0,1) \).

Citar
b)Direcciones en las que existan las derivadas direccionales en el orígen.

Aplica la definción.

Ahora tengo que dejarlo. Intenta seguir y pregunta las dudas.

Saludos.

16
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Diagonalización
« en: 14 Agosto, 2022, 12:27 pm »
Hola

 Está bien.

Saludos.

17
Hola

Sea \( A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0< x\leq 2\pi, -1\leq y\leq 1\} \) y \( f:A\rightarrow\mathbb{R}^2 \), dada por \( f(x,y)=\left(\sqrt{x^2+y^2}sen(\frac{1}{x}), x-y\right) \)
a) ¿Es \( f(A)  \) compacto ?

Recuerda que en \( \Bbb R^2 \) un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

En este caso el conjunto no es cerrado. Comprueba que \( (0,-1)\not\in f(A) \), pero si está en su clausura. Para ello considera la sucesión \( \{f(x_n,y_n)\} \) con:

\( (x_n,y_n)=\left(\dfrac{1}{2n\pi},1\right) \)

Citar
b) ¿Es \( f(A) \) conexo?

Es conexo, porque es la imagen continua de un conexo. El conjunto \( A \) es conexo por ser producto de conexos.

Citar
Una pregunta en general, cuál es u a manera práctica de ver la conexidad de un conjunto, porque en \( \mathbb{R} \) hay un teorema que dice que los conexos son los intervalos, pero de \( \mathbb{R}^2 \) en adelante, ¿hay alguna manera más o menos simple para checarla?

En primer lugar conviene tener una idea intuitiva de si el conjunto es o no conexo; es conexo si no está "roto" en dos o más trozos; esto es fácil de intuir para conjuntos que podamos dibujar; en algunos casos patológicos de conjuntos raros la intuición es más complicada.

Después hay que usar las propiedades de la conexidad, para a partir de la conexidad conocida de conjuntos sencillos poder estudiar la conexidad de conjuntos más complejos:

- El producto de conexos es conexo.
- La unión de conexos con un punto en común es conexo.
- La adherencia de un conexo es conexa (o más aún un conjunto comprendido entre uno conexo y su adherencia es conexo).
- La imagen de continua de un conexo es conexa.

Estás son las más típicas, aunque hay otras.

Si NO fuese conexo, la forma más habitual de probarlo es dar una separación del mismo: mostrar que puede dividirse en dos abiertos disjuntos no vacíos.

Saludos.

CORREGIDO

18
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Complemento ortogonal
« en: 14 Agosto, 2022, 12:15 pm »
Hola

Hola; tengo varias dudas sobre los temas de proyeccion ortogonal, ortogonalizacion y complemento ortogonal; por ahora haria la.siguiente pregunta:

Dado un espacio \( V_{n} \) y un subespacio del mismo de dimension \( m \): \( S_{m} \); dada en este subespacio alguna base \( \left\lbrace \color{red} u_{0}\color{black}, ..., u_{m}\right\rbrace \), luego:

Deberías de empezar a contar en \( u_1 \) no en un \( u_0 \) si dices que tiene dimensión m y por tanto una base tiene \( m \) vectores.

Citar
Si se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales, entonces:

1-Suponiendo que ese conjunto obtenido tenga dimension \( m \), entonces es dicho conjunto el llamado complemento ortogonal de \( S_{m} \)?

Es que tengo serias dudas de que quieres decir con: "Si se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales".

Si te refieres a conseguir una base del subespacio \( S_m \) pero de vectores ortogonales entre si, eso NO es el complemento ortogonal de \( S_m \). Esto me parece la interpretación más directa de lo que has escrito. Si es otra dime a que te refieres.

El complemento ortogonal de un subespacio  es el conjunto de vectores perpendiculares (ortogonales) a él. Es algo muy inuitivo: por ejemplo en tres dimensiones el complemento ortogonal de un plano es la recta perpendicular a él; o el complemento ortogonal de una recta es el plano perpendicular a ella.

Si trabajas en un e.v. de dimensión \( n \) el complemento ortogonal de un subespacio de dimensión \( m \) debe de tener dimensión \( n-m \).

Citar
2-los.elementos.del.conjunto obtenido son ortogonales a todos los.vectores de \( S_{m} \)?

Como te he dicho antes, con la interpretación que he indicado de lo que has escrito, la respuesta es NO.

Saludos.

P.D. En general creo que debes de aclarar que has querido decir con:

Citar
se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales

Sospecho que querías escribir otra cosa o que te has expresado mal.

19
Hola

Luis espero te encuentres bien, vengo al foro nuevamente para que me aclares algo, en clases me dijeron que está definición del lim supremo no está correcta, que debo tener más clara la definición, ahora te pregunto, será que mi profesor está equivocado? Aclárame está duda por favor, cómo sería la forma correcta entonces de la definición? Espero tu respuesta.

Lo primero que tendrías que hacer es revisar que definición te han dado a ti de límite superior; hay varias equivalentes.

Quizá la más típica es:

(I) \( \lim sup A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k \)

Pero es equivalente a la otra que yo te he dado:

(II) \( x\in limsup A_n \) si y sólo si para todo \( n \) existe un \( m>n \) tal que \( x\in A_m \) (*)

Efectivamente:

 - Si \( x\in \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k \), como \( x \) está en la intersección \( \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n \) con \( B_n=\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k \). En particular, dado \( n \), se tiene que \( x\in B_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{k=n+1}^\infty A_k \). Y por tanto como \( x \) está en esa unión está en alguno de los \( A_k \) con \( k\geq n+1 \), es decir existe \( m>n \) tal que \( x\in A_m \).

- Recíprocamente supongamos que \( x \) cumple (II), entonces para todo \( n\in \Bbb N \) existe \( m>n \) tal que \( x\in A_m \) y por tanto \( x\in \displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k \). Como esto es cierto para todo \( n \), \( x\in \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k \).

 Esto prueba la equivalencia de ambas definiciones.

Saludos.

P.D. Si manejas otra definición de límite superior, indica cuál.

20
Álgebra / Re: Demostración sobreyectividad
« en: 14 Agosto, 2022, 11:58 am »
Hola

Yo tengo LA respuesta: Dada la naturaleza de los conjuntos, diría sin ninguna duda que es falso, puesto que es imposible que el producto \( x.y \) "quepa" en dicha definición. >:D >:D

Supongo que esto fue algún tipo de doble sentido o algo así. Pero no pillé que quisiste decir, manoooooh....  :o :o

Saludos.

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