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Mensajes - robinlambada

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Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Demostración por inducción
« en: 27 Noviembre, 2022, 08:24 pm »
1) \( 1+2+…+n=n(n+1)/2 \), \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n = 1 \)  \( 1=(1(1+1))/2 \) -> \( 1=1 \)
 - comprobamos con \( n = k+1 \)   \( 1+1=(1+1(1+1+2))/2 \)  ->  \( 2=2 \)
Se comprueba por inducción
   

2) \( n<2^n \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \) \( 1<2^1 \)  ->\( 1<2 \)
 - comprobamos con \( n=k+1 \)    \( 1+1<2^1+1 \)   -> \( 2<4 \)
Se comprueba por inducción


3) \( n^3−n  \)es divisible entre \( 3 \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

 - comprobamos con \( n=1 \)  \( 1^3-1 =0 \) que es divisible entre \(  3 \).
 - comprobamos con \( n=k+1  \)  \( 2^3-2 = 6 \) también divisible

4) \( 2^n<n! \),  \( \forall n\in \Bbb N^∗ \)

  - comprobamos con \( n=1 \)    \( 2^4<4*3*2*1 = 16<24 \) se cumple
  - comprobamos con \( n=k+4 \)  \( 2^5<5*4*3*2*1 = 32<120 \) se cumple

¿Así sería correcto?
No, no es correcto. Tu solo has comprobado 2 casos \(  n=1 \) y \( n=1+1=2 \)

Fíjate en el ejemplo que te ha puesto Delmar que te ha resuelto el primer apartado.

Te resumo:
1º Se comprueba para n=1 (eso ya lo has hecho)
2º Se supone que la expresión es cierta para un valor n=k genérico.
3º Utilizando la suposición que es cierto para n=k, se demuestra que es cierto para n=k+1.

Pero ¡ojo!, en el paso 3º No se puede sustituir la n por ningún valor concreto.
 Puedes ver este ejemplo del enlace:


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Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Demostración por inducción
« en: 27 Noviembre, 2022, 09:05 am »
A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda del menor que :

n=1 -> 1<n^2

La parte de la derecha :

Cuando n=1 -> 1<1

No es verdadero en este caso osea que no seguiría



n^3-3 = divisible entre 3

A) Probamos que el teorema es verdadero para su valor inicial, en este caso n=1

La parte de la izquierda del igual :

n=1 -> 1^3-3

La parte de la derecha :

Cuando n=1 -> 1-3 no es divisible entre 3.
No continuaría


Vale creo que lo he entendido. Se trata de tomar el valor inicial (n) y el valor n+1 y comprobar el teorema en ambos casos. Era así como lo hacía pero no estaba seguro.
Gracias.
Has copiado mal los apartados, todos son ciertos.

2) Es \( n<2^n \) , \( 1<2^1 \)

3) \( n^3-n \) es divisible entre 3.

\( 1^3-1=0 \) , el cero es múltiplo de cualquier número.

Fíjate que \( n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1) \) y el producto de tres números consecutivos siempre es divisible entre \( 3 \).

Saludos.

3
Álgebra / Re: Ecuaciones diofánticas y divisibilidad
« en: 27 Noviembre, 2022, 08:49 am »
Hola a todos, estaba intentando resolver este ejercicio :

  • Hallar todas las soluciones \( (x,y)\in{\mathbb{Z^2}}  \) de la ecuación \(  110x+250y =100 \)que satisfacen simultáneamente que \(  37^2 | (x-y)^{4321}  \)
Luego de ver que el mcd divide a 100, coprimizar y aplicar el algoritmo de Euclides, obtuve que las soluciones de la ec. diofántica son \(  S=\{(x,y)/ x =-90+k25 , y= 40-11k \} \)

Luego reemplace x e y en la otra condición que piden, de forma tal que queda

\(  37^2 | (-130+36k)^{4321}  \) o quizás me conviene pensarlo como congruencia \(  (-130+36k)^{4321} \equiv{0} (37^2)  \) pero con la potencia enorme no se como resolverla.

En este punto no se como seguir. ¿Alguna pista?

Hola.

Fíjate que para que una potencia sea divisible entre un número , la base debe ser divisible entre ese número también.
 
Entonces :

\( -130+36k\,  \equiv{0} (37^2) \) y también si \( 37^2 \) es factor de \( -130+36k \), también lo será \( 37 \).

P.d.: Pero ojo, que lo que puse en azul aunque es cierto no te da todas las soluciones posibles.
Saludos.

4
Matemáticas Generales / Re: Pista de Carrera
« en: 12 Noviembre, 2022, 09:53 am »
Hola.
   Otro enfoque que no es cinemático. lo puedes ver por proporcionalidad , en concreto  reparto directamente proporcional. Como si se repartieran la distancia de 1200 metros entre los dos (ya que en total recorren toda la pista ambos)

   Como el tiempo es el mismo y Ana va a doble velocidad recorrerá doble distancia que Paulo, en total son 3 partes en que se divide la distancia, 2 partes  recorre Ana y una parte Paulo ( la mitad que Ana)
\(  2+1=3 \) Paulo recorre un tercio de la distancia \( \displaystyle\frac{1200}{3}=400\,m \)

Saludos.

5
Combinatoria / Re: Problema de combinatoria
« en: 29 Octubre, 2022, 03:33 pm »
En un hospital hay 5 neurocirujanos y 7 anestesistas. Se va a realizar una operación muy complicada para la que se necesitan 2 neurocirujanos y 3 anestesistas.
a) ¿Cuantos grupos de trabajo se pueden hacer?

Para los neurocirujanos he hecho una combinatoria sin repetición de 5 elementos elijo 2 y me ha quedado 10.
Para los anestesistas lo mismo me quedan 35.
¿En general para el equipo de trabajo tengo que multiplicar 10 por 35? Es decir, se podrian hacer 350 grupos de trabajo?
b) Hay un anestesista que tienen que participar obligatoriamente en la operación. ¿Cuantos grupos de trabajo se pueden hacer?
Hay 10 posibilidades para los neurocirujanos igual que en (a).
Para los anestesistas me queda 15 posibilidades.
En total 150 grupos de trabajo, ¿es correcto?
b) Hay dos neurocirujanos de vacaciones por lo que no pueden participar en la operación. ¿Cuantos grupos de trabajo se pueden hacer?
Me quedan 3 posibilidades para los neurocirujanos y 35 para los anestesistas.
105 grupos de trabajo. ¿esta bien?

Si es correcto.
Cuando tengo dos conjuntos uno con las posibles agrupaciones de 2 cirujanos y otro conjunto con las posibles agrupaciones de 3 anestesistas , habiendo respectivamente n y m elementos en cada uno.
El número de formas que puedo tomar un elemento de cada conjunto es \( n\cdot{}m \)
Ten encuneta que para cada pareja de cirujanos existen m tríos de anestesistas , así n veces es decir \( n\cdot{}m \)

Saludos.

6
Analizando el sistema lineal de abajo tendremos un SCD porque Det\( \neq 0 \)

\( x-2y-z=a \)
\( -x+4y+2z=b \)
\( 3x+3y+5z=c \)

Pero SCD tiene solución única y aquí para cada valor de, a, b y c tendremos solución, es decir, el sistema tendrá infinitas soluciones,

¿Cómo justifico que es un SCD apesar de tener infinitas soluciones?
Hola, muy sencillo. Con SCD nos referimos a las variables \( x.y.z \). y no a:  \( a,b,c \)  que se consideran parámetros que hay que fijar.

Es decir, una vez fijados los valores de a, b, c. entonces la solución es única. La justificación es teórica y la da el teorema de Rouché–Frobenius

Pues \( det\begin{pmatrix}{1}&{-2}&{-1}\\{-1}&{4}&{2}\\{3}&{3}&{5}\end{pmatrix}\neq 0 \)

Saludos

7
Matemática de Escuelas / Re: Análisis Combinatorio
« en: 15 Octubre, 2022, 08:58 am »
Hola;
Analizamos primero sin que el rey pueda ir en diagonal.

En total el rey debe hacer 14 movimientos para llegar a la esquina opuesta.
Entiendo que con retroceder quieres decir que si saliese de la esquina inferior izquierda, el rey no podría mover a la izquierda ni hacia abajo. Lo cual limita el número de posibilidades de cada movimiento a dos como máximo, con el añadido de que deben ser 7 hacia la derecha y 7 hacia la izquierda en total. ( si hacemos los 7 primeros hacia la derecha forzamos a que los  7 últimos sean hacia arriba)

La solución, sin que el rey pueda ir en diagonal son permutaciones con repetición de 14 elementos de los cuales hay dos parejas de 7 repeticiones.

\( PR_{14}^{7,7} \)

Ahora por cada casilla que el rey avance en diagonal equivale a que avance 2 en total (una a la derecha y otra hacia arriba)

Si avanza solo una en diagonal la respuesta es ( ahora 3 elementos)

\( PR_{13}^{6,6,1} \)  (hay 1 movimiento diagonal y 6 derecha y 6 arriba).

Con 2 movimientos diagonales.

\( PR_{12}^{5,5,2} \) .....

Como máximo hay 7 movimientos diagonales forzados (y ningún movimiento derecha o izquierda), es decir, una sola  permutación que es \( PR_7^7 \)

En total: \( \displaystyle\sum_{i=0}^7{}PR_{14-i}^{7-i,7-i,i} \)

Saludos.

8
Propuestos por todos / Re: Suspense con caracol y niño
« en: 02 Octubre, 2022, 09:44 pm »
Hola

robinlambada:

Spoiler
Yo había pensado algo parecido. Pero sin embargo aquí:

\( d_c=1t + 2t\displaystyle\frac{d_c}{d_n}=1t + 2t\displaystyle\frac{d_c}{2t+d_o} \)

¿no debería de ser una ecuación diferencial del tipo?:

\( d_c'(t)=1 + 2\displaystyle\frac{d_c(t)}{2t+d_0} \)

Así es como lo planteé y la solución es:

\( d_c(t)=-\dfrac{ln(d_0)}{2}(d_0+2t)+(d_0+2t)\dfrac{ln(d_0+2t)}{2} \)

que corresponde a la simulación de mi anterior mensaje.
[cerrar]

Saludos.
Si, toda la razón, simplifique demasiado y mi resultado es solo si la velocidad del caracol fuese constante, que no es cierto.
Gracias. Lo corrijo.

9
Propuestos por todos / Re: Suspense con caracol y niño
« en: 02 Octubre, 2022, 07:53 pm »
Mi propuesta.
Spoiler
[Corregido]
La distancia del niño a la pared en función del tiempo es: \( d_n=2t + d_o \) , con \( d_o \) la longitud inicial del elástico.

La velocidad del caracol se calcula sumando su velocidad respecto al elástico ( \( 1\,\frac{ m}{min} \) )  a la velocidad del punto del elástico debida a su elongación.
Lo lógico es pensar un elástico homogéneo , por lo cual la velocidad de cada punto será directamente proporcional a la relación entre la longitud total y la distancia a la pared, es decir:

\( \color{red}\cancel{d_c=1t + 2t\displaystyle\frac{d_c}{d_n}=1t + 2t\displaystyle\frac{d_c}{2t+d_o}} \)

Despejando \( \color{red}\cancel{d_c=\displaystyle\frac{2}{d_o}t^2+t} \) que comparado con  \( d_n=2t + d_o \) , es claro que siempre lo alcanza independientemente de \( d_o>0 \)

Añadido:
He integrado la velocidad del caracol para hallar su posición como si esta fuera constante y es un error pues esta velocidad depende de la posición como he dicho proporcionalmente a la longitud total. habría que integrar la E.D.O:

\( d_c'(t)=1 + 2\displaystyle\frac{d_c(t)}{d_n(t)}=1 + 2\displaystyle\frac{d_c(t)}{2t+d_0} \)

[cerrar]



Saludos.

P.D.: Corregido por aclaración de Luis.

10
De acuerdo. A propósito, le he preguntado a mi profesor y dice que en efecto cometió un error al copiar el ejercicio porque la desigualdad que hay que probar era justamente la inversa, cambiando el sentido de la misma, es decir:
\( (\frac{sin^3(a)}{cos(a)}+\frac{sin^3(b)}{cos(b)})(sin a sin b +cos a cos b) \leq 1 \).
Sin embargo, he estado intentando buscar vectores con la forma apropiada para usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y probarla pero no he sido capaz. ¿Alguna ayuda? Gracias de nuevo.

Hola. para \(  a=b=\displaystyle\frac{\pi}{4} \) tampoco se cumple

\( (\frac{sin^3(a)}{cos(a)}+\frac{sin^3(b)}{cos(b)})(sin a sin b +cos a cos b) \leq 1 \).

Saludos.

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Propuestos por todos / Re: Deducir el número
« en: 20 Septiembre, 2022, 09:07 pm »
Spoiler
Si interpretamos que contamos el orden de izquierda a derecha, es decir, si es de dos cifras ,las unidades es la segunda cifra .
La opción obligada con una sola respuesta si las unidades no son 6, da como solución 64

El número que pensó realmente sería mayor o igual a cien, impar y la cifra central (la segunda ) un 6
única respuesta 169

En caso de considerar como 2º cifra las decenas (ordenando de derecha a izquierda, que reitero que el razonamiento de Luis es totalmente correcto y sin pegas, rizando el rizo creo que tiene más sentido empezar a ordenar desde las unidades como hace Luis, así las unidades siempre serán la primera cifra independientemente del número de dígitos, pero no al contrario)

En este caso también la respuesta de Berta es 64 y El número propuesto por Alberto debe ser mayor o igual a 100, impar y con 2ª cifra (coincide con las decenas) distinto de 6, solo puede ser 121


[cerrar]

Saludos.

12
Propuestos por todos / Re: Deducir el número
« en: 20 Septiembre, 2022, 08:50 pm »
Para Luis Fuentes
La deducción es correcta pero tienes un pequeño error en la respuesta 4 que afecta a los resultados. Dices que Berta sabe que es 64 porque escucha que la segunda cifra sí es 6 ???
Saludos
Es que Luis entiende como segunda cifra, la de las decenas, curiosamente si se entiende como 2ª cifra las unidades , llegamos pero por negación al mismo resultado.

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Hola a todos.


Como entusiasta de la física, he estado navegando por el subforo destinado y he encontrado varios problemas antiguos, algunos sencillos, otros no tanto , de varios años, que no tienen respuesta o que a veces tienen  una sola respuesta que es o bien solo una simple indicación, y otras en la que la respuesta que se a dado es incompleta y pocas veces he visto sucede que es incluso errónea.
 
Puesto a que puedo como pasatiempo destinarle periódicamente un tiempo a resolverlos, pregunto por mi interés en particular para ese foro, si es útil a la comunidad dar respuesta al hilo, y en general si es bueno para todos los foros que alguien reflote viejos hilos , o hay una opinión formada para no hacerlo.


En mi opinión  creo que no es mejor esperar que alguien más se interese por la solución y repregunte, puesto que si no encuentra la respuesta  lo más probable es que seguirá navegando a que se inscriba...Y que es probable que se inscriba si a menudo halla respuestas similares.


El espíritu no es esperar respuesta de usuarios que hace años no postean, sino incrementar a mi criterio el contenido.


He buscado algún debate similar previo, pero no lo he encontrado.


Saludos y gracias.
Me parece muy bien, gracias por el interés.
Un abrazo.

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Análisis Matemático / Re: Metodo matematico
« en: 11 Septiembre, 2022, 10:14 am »
Un misil ha sido enviado para devastar una zona de guerrilla, los guerrilleros al darse cuenta desean mandar un misil para detenerlo haciendo que exploten en el cielo.

Si el primer misil lleva una dirección de acuerdo con la siguiente ecuación:

\( f(t)=cos(t)+sen(t) \) y la otra lleva una trayectoria  \( f(t)=sen(t) \) en que momento sucederá la explosión si el primer misil se lanzó a las 5:30 de la mañana.
Buenas.

El enunciado no es claro, la única explicación que veo para que se pueda atacar es que sean trayectorias unidimensionales, es decir trayectorias rectas, ya que te están dando estas en función del parámetro tiempo y solo tememos una función paramétrica para la trayectoria de cada misil.

En ese caso , el más sencillo posible, faltarían  2 datos para poder resolverse con un valor determinado y conocido, faltaría la distancia que separa los lugares de lanzamiento de los 2 misiles y cuanto tiempo ha pasado desde el primer lanzamiento al segundo lanzamiento del misil defensivo.


¿Estás seguro de que el enunciado es correcto?
¿De donde lo has sacado?

Saludos.

P.D.: el enunciado no es nada realista , entiendo que el misil primero se lanza desde el aire. además \( -1<\sen t <1 \) quiere decir que si no impactara el segundo misil con el primero, este regresaría a la base en \( \pi \) unidades de tiempo desde el lanzamiento y explotaría a los guerrilleros ( la trayectoria del \( f(t)=sen(t) \) sería parecida a la de un yoyo, entendiendo \( t  \) como el tiempo y siendo unidimensional ).

Además, ¿ quién se levanta antes de las 5: 30 a.m. para lanzar un misil ? , en todo caso para salir de viaje de vacaciones, vale.

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Foro general / Re: Humor matemático.
« en: 06 Septiembre, 2022, 11:17 pm »

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Aprovecho el tema para enlazar una escena de Harold Lloyd que es de mis preferidas ( después de su increíble escalada en el hombre mosca) es a partir del minuto 4:16 ,cuando empieza a tirar de la manguera.


P.D.: Disculpad el inciso, pero no me he podido resistir.

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Hola a tod@s.

Pues bienvenido seas después de vacaciones, robinlambada.
Gracias.
Citar
Finalmente, ¿ podrías escribir tu desarrollo para obtener \( F\geq{}Mg+2mg \) ?.

JCB.

Si , claro.

En el planteamiento supuse que no había rozamiento ( esto no es fundamental, pues puedo poner una fuerza efectiva \( F'=F-Fr \)  incluyendo el rozamiento)

 \( F'-T=ma \) (1)

\(  T-Mg=Ma_{cm} \) ,si \( a_{cm}=0\Leftrightarrow{}T=Mg \) (2)

\( \displaystyle\frac{1}{2}MR^2\alpha=RT \) (3)

\( \vec{a}=\vec{a}_{cm}+\vec{a}' \) siendo \( \vec{a}' \) la velocidad respecto del centro de masas del rodillo del punto exterior del rodillo donde la cuerda empieza a desenrollarse , que es \( \vec{a}'=\vec{\alpha}\wedge \vec{R} \)
escalarmente como \( a_{cm}=0\rightarrow{}a=\alpha R \) (4)

de (2),(3) y (4) obtengo que \( a=2g \) (5)

Y sustituyendo (2) y (5) en (1) obtengo que \( F'_{min}=Mg+2mg \)

o con rozamiento, \( F_{min}=Mg+2mg+\mu mg \)

Saludos.


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Otra forma de verlo es pensar que en vez del rodillo estar suspendido en el aire, este apoyado en un plano inclinado sin rozamiento, de tal forma que la componente del peso que se opone a la tensión sea menor. Pienso que así se ve más claro que el carrete puede subir y desenrollarse al mismo tiempo.


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Os dejo un ejemplo parecido, por si pudiera aclarar.

Saludos.

P.D.: añado el archivo de video por si se pierde el enlace.


20
... / ...
La tensión de la soga es igual al peso del disco y entonces no acelera el centro de masas, pero debido al momento desequilibrado, se desenrolla aceleradamente.
... / ...

Hola a tod@s.

No acabo de ver esta consideración. El cdm no es un punto fijo, y por tanto, tiene forzosamente aceleración lineal (ver mi respuesta # 5).

Por otra parte, tampoco veo que se de respuesta a la variante de robinlambada, la cual decía que se trata de determinar la fuerza que provoca el enrollado de la cuerda (no el desenrollado).

Aunque ahora ya es demasiado tarde, insisto en que la variante de robinlambada debería haberse tratado en un tema aparte.

Saludos cordiales,
JCB.
  No se a que te refieres que el centro de masas es no es un punto fijo, ¿ por que no?. Aunque no lo sea y se este desplazando, se podría mover con velocidad constante y no tener aceleración lineal ( vero a efectos prácticos velocidad constante distinta de cero y velocidad nula es indiferente, solo es cuestión de las condiciones iniciales).

Insisto y me disculpo si no he sido muy claro, el carrete no tiene porque enrollarse, en ningún momento lo digo.

  El ejemplo que pone Richard del yoyo es muy significativo, si cuando el yoyo esta subiendo y la cuerda si se esta enrollando podemos tirar del hilo aplicando más tensión que produce que el carrete se vuelva a desenrollar y el giro horario  del carrete  frenaría algo el ascenso pero  siendo aún la aceleración del c.m. ascendente pero en menor módulo.

Saludos.

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